X를 hausdorff topological space라고 하고
X의 proper subset Y를 X의 subspace라고 하자.
Y가 limit point compact이면 closed 인가? 이게 질문인데 아니라고 알고있음.
난 처음에 참이라고 착각했는데 이유가
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먼저 Y가 closed임을 증명하기 위해 X-Y가 open임을 증명해야겠지
x를 X-Y의 원소라고 하자.
x는 Y의 limit point가 아님을 알 수 있음.
(만약 x가 Y의 limit point이면 Y는 limit point compact 이므로 x는 Y의 원소임. 그런데 x는 X-Y의 원소이므로 모순)
그러므로 x를 포함하는 어떤 open set U가 존재해서
U-{x}는 Y의 점을 전혀 포함하지 않고 x또한 Y의 원소가 아니므로 U는 Y의 점을 포함하지 않음. 따라서 U는
X-Y의 부분집합임. 그러므로 X-Y는 open
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분명 잘못된 부분이 있을텐데 어디지? hausdorff 조건도 사용 안해서 이상하긴 한데
limit point compactness의 정의를 잘못 알고 있는 것 같은데
어 그런가 X의 임의의 infinite subset A에 대해 A가 limit point를 가지면 X를 limit point compact라고 부르는거 아님? 그러니 X가 유한집합이면 limit point compact이고 X가 무한집합이면 X는 limit point를 가지는데 X안에 있지
그러니까 X 밖에 있는 점은 X의 어떠한 부분집합에 대해서도 limit point가 아니게 되지 않음?
x가 Y의 limit point라고 해서 Y 안에 들어갈 이유는 없음
아 그렇구나 내가 정의에서 "X has limit point"를 당연히 limit point가 X 내부에 있어야 하는 걸로 오해했나보네 그냥 X의 무한집합은 항상 limit point가 있는걸로 생각하면 되겠다
아니 근데 그러면 (0,1)도 limtit point compact잖아
뭔가 오해하고 있는거같은데 당연히 X 내부에 있어야하는게 맞음. 본문 예시에서도 Y의 임의의 infinite subset은 Y 내부에서 Y의 위상에 대한 limit point를 가질 테지만 X 안에서 X의 위상에 대한 Y의 limit point가 Y에 들어가느냐하고는 다른 문제임
아 그래 뭔가 이상하다 했다 미묘한 차이가 있었구나