If f(t) is a monic irreducible polynomial in F[t] that divides the characteristic polynomial of a linear operator T on a finite-dimensional vector space V over F, then there exists a positive integer n and a nonzero vector v in V such that f(t)^n is the T-annilhilator of v
이해가 안가므니다..
대략 T는 rational canonical form C를 가지고
f(t)는 T, 즉 C,의 characteristic polynomial을 나누므로
C를 구성하는 companion matrix들 중 하나의 characteristic polynomial을 나누겟죠
별거 아닌것같은데 제가 놓치고 잇는게 잇나요??ㅠㅠ
이해가 안가므니다..
대략 T는 rational canonical form C를 가지고
f(t)는 T, 즉 C,의 characteristic polynomial을 나누므로
C를 구성하는 companion matrix들 중 하나의 characteristic polynomial을 나누겟죠
별거 아닌것같은데 제가 놓치고 잇는게 잇나요??ㅠㅠ
p를 T의 특성다항식이라고하면, f가 p를 나누기떄문에 p=gf^m을 만족하는 f로 안나누어지는 다항식 g가 존재함. g는 p보다 차수가 작으므로 g(T)≠0임 즉, g(T)w≠0인 w가 존재함. 근데, p(T)w=(f^m)(T)g(T)w=0이므로, g(T)w=v라고하면, f^m은 T-annihilator of v 의 배수여야함. 근데 f가 irreducible이므로 m보다 작은 어떤 자연수 n에 대해 f^{n}이 T-annihilator of v임
g가 p보다 차수가 낮다고 g(T)가 0이 아닌부분이 잘.. p가 최소다항식은 아니니깐 그건아직 모르는거아닌가요..?
아 그렇네요. 착각함
아 참고로 저문장이 T의 특성다항식의 모든 irred factor들이 T의 minimal poly의 factor이다 보이는정리에서 나온거라서
흑 ㅠ
그거랑 얘가 쓴거랑 합치면 됨 최소다항식을 m이라하면 1)m이 f를 나누면 자명 2)안나누면 irr factor들로 p와 f m을 표현한 식에서 f에 없고 m에 있는 factor를 degree꽉채워서 곱하고 얘의 논리에 의해 거기에 w해준게 0이아닌 w존재
2) 좀만 자세히좀요 ㅠ m이랑 f랑 서로소면 어떡해요?