if Y is subspace of hausdorff space X and is limit point compact, does it follow that Y is closed in X?



이 명제에 대한 반례를 찾고 싶다. 이전에 S_sigma가 반례임을 확인했지만 나는 내가 직접 반례를 만들어보고 싶었다.



나는 limit point compact이지만 compact가 아닌 예시로
Zx{0,1}을 알고 있다. 이때 {0,1}에는 indiscrete topology가 주어져 있음.



이걸 잘 바꿔서 위 명제의 반례로 만들고 싶다.. 마침 정수집합에 위상을 잘 줘서 소수가 무한함을 보인 학부생의 일화가 생각나서 그 방법을 좀 참고하기로 했다.



먼저 Z에 basis를 하나 만드는데 초항이 a이고 공차가 d인 수열로 잡을거임. 각 basis의 원소를 무한집합으로 만들고 싶으니까 공차는 0이면 안되겠지..

B = { {a+dn} | a는 정수, d는 0이 아닌 정수}

이렇게 정의하자.


이게 basis가 되고 정수집합에서 위상이 됨은 확인했다. 구글에서 증명 따라가니 금방이더라 심지어 아카라이브에도 있어서 놀랐다 ㅋㅋㅋㅋ


이제 Z를 정수집합이고 B를 basis로 가진다고 하자.

그리고 Z_R을 R에서의 subspace인 정수집합으로 정의할거임. 그러면 정수집합에 discrete topology를 준것과 동일함.


X = (Z_R) x Z 라고 하자. 위상은 product topology임.
hausdoff임을 확인할 수 있다.
이 X는 문제에서의 X임.


이제 Y를 X에서 합성수만(좌표의 x,y성분이 모두 합성수임) 전부 모아놓은 subspace이라 하자.


임의의 등차수열은 소수만을 포함할 수 없고 반드시 합성수를 포함해야 하므로 Y의 limit point 중에는 y좌표가 소수인 점이 존재함. 그러므로 Y는 closed는 아님.


그런데.. Y가 limit point compact인지 모르겠다.. 누가 힌트라도 좀 줘