square matrix A가 n개의 eigenvectors 를 갖으면 A가 diagonalizable이다.
여기서 나는 A가 일차종속인 n개의 eigenvectors들을 갖는다고 잡고 A가 not diagonalizable함을 보이고싶음
맨 처음 생각한건 각 eigenvalue에 대응하는 eigenspace의 기저들이 일차종속이게 잡아보고 싶었는데 내 머리로는 불가능하더라(서로 다른 람다에 대해서 같은 기저를 같는 eigenspace를 만들고 싶었음)
그래서 그냥 포기하고 처음부터 char poly의 해가 동일한 값이 2개 이상 나오게 A를 만들어주고
그 같은 해를 서로 다른 문자 람다1, 람다2 라고 한 다음 각 eigenvalue에 해당하는 eigenvector를 구하면 결국 같은 벡터가 나오잖아
그러면 결국 서로 일차종속이니깐 이 명제의 반례라고 생각할 수 있는거임?
예를 들어보면
0 2
0 0
같은 행렬 말하는거임
여기서 나는 A가 일차종속인 n개의 eigenvectors들을 갖는다고 잡고 A가 not diagonalizable함을 보이고싶음
맨 처음 생각한건 각 eigenvalue에 대응하는 eigenspace의 기저들이 일차종속이게 잡아보고 싶었는데 내 머리로는 불가능하더라(서로 다른 람다에 대해서 같은 기저를 같는 eigenspace를 만들고 싶었음)
그래서 그냥 포기하고 처음부터 char poly의 해가 동일한 값이 2개 이상 나오게 A를 만들어주고
그 같은 해를 서로 다른 문자 람다1, 람다2 라고 한 다음 각 eigenvalue에 해당하는 eigenvector를 구하면 결국 같은 벡터가 나오잖아
그러면 결국 서로 일차종속이니깐 이 명제의 반례라고 생각할 수 있는거임?
예를 들어보면
0 2
0 0
같은 행렬 말하는거임
n개의 eigenvector라는게 정확하게 무슨 뜻임? 예를 들어 같은 eigenvalue에 대응하는 eigenvector들의 선형결합도 eigenvector니까 사실 eigenvector는 무한히 많잖아. 정확히 어떤 의미를 상정하고 말하는 건데?
아 그러네 근데 문제에도 그렇게 써져있는데 내 생각에는 아마 eigenvalue에 대한 eigenspace의 기저의 개수 아닐까
그 기저들끼리 일차종속이면 저 명제가 성립하지 않는거고
eigenspace 기저 총 개수가 n이면 당연히 diagonalizable인데? 애초에 diagonalizble일 필요충분조건이 eigenvector만으로 basis를 만들 수 있다는건데
eigenspace들은 0 말고 겹칠 수가 없지
그래서 나도 맨 처음에 서로 다른 eigenvalue에 대응하는 eigenspace의 각각의 기저들의 집합을 합집합 했을때 일차종속이게 만들고 싶었는데 그게 안되는 것 같아서
서로 같은 2개의 eigenvalue, 람다1=0, 람다2=0 이런식으로 두면 각 람다에 대응하는 eigenspace의 두 기저가 일차종속이게 되지 않나 라고 생각하고 한거긴 한데 나도 맞는지 모르겠음
eigenvalue가 다른 eigenvector들은 항상 linearly independent인건 알고 있지? 그래서 eigenspace들의 합은 언제나 direct sum이 됨. 따라서 만약 eigenspace들의 dimension 합이 n이면 당연히 diagonalizable임
다시 말해서 이 문제를 너처럼 해석하면 이건 옳은 명제가 되는거임
서로 다른 eigenvalue에 대응되는 eigenvector들은 항상 다른 벡터들하고 일차독립이라는 거임?? 처음 알았네
서로 다른 eigenvalue에 대응되는 eigenvector들의 집합은 항상 일차독립일 수 밖에 없다는거지?? 그럼 참인건가보네..