"모든 자연수 n에대해 (1+1/n)^n < (1 + 1/(n+1))^(n+1)"
일단 나부터 증명 끊음.
산술평균과 기하평균의 관계에서
(1 + 1/n)^n = 1 x (1 +1/n) x ... x (1 + 1/n)
< {(1 + (1 + 1/n) + ... + (1 + 1/n))/(n+1)}^(n+1) = (1 + 1/(n+1))^(n+1)
누가 증명좀 더해줘
일단 나부터 증명 끊음.
산술평균과 기하평균의 관계에서
(1 + 1/n)^n = 1 x (1 +1/n) x ... x (1 + 1/n)
< {(1 + (1 + 1/n) + ... + (1 + 1/n))/(n+1)}^(n+1) = (1 + 1/(n+1))^(n+1)
누가 증명좀 더해줘
이거는 유명한디 a_n을 (1+1/n)^n라 두고 얠 이항정리로 전개해보셈 그러면 1+1+[(n-1)/n](1/2!) + ... + [(n-1)/n][(n-2)/n]...[1/n](1/n!)꼴이됨. 이걸 a_(n+1)로도 나타낸 뒤, a_n과 a_(n+1)을 각 (1/k!)항마다 비교해주셈. 그러면 대응되는 항끼리는 a_(n+1)이 더 크고
게다가 1/(n+1)!항도 추가로 가지므로 a_n보다 a_(n+1)이 더 큼. 참고로 이게 유명한 이유는 저 수열의 극한값이 e임을 보일 때 단조수렴정리(증가수열이 위로 유계(즉, 모든 수열이 어떤 실수M 보다 작게되는 그런 M이 존재)라면 수렴)를 이용할때, 증가수열임을 증명하는 내용임