[대학교이상] 미분기하학 제 1 기본형식 기본 질문입니다.

[익명(182.218)]

제1기본형식을 이렇게 나타낸다.

I=ds^2=Edu^2+2Fdudv+Gdv^2

저기서 ds^2를 길이성분이라고 하는데.

ds^2가 무얼 의미하는거죠?

어떤 곡선 a(t)에 대한 길이성분은 |a'(t)| 아닌가요?

ds도 아니고 ds^2 라는게... 어떤의미인지 잘 모르겠습니다.

Iv=<v ,v> (standard inner product)니까 

매개화된 곡선의 길이 성분을 s 그것을 동일한 s로 내적하여 s^2로 만들것의 미분이라고 보면되나요?

[익명(182.218)]

ds = |a'(t)|dt, ds^2 = (ds)^2 = (|a'(t)|dt)^2

[익명(223.39)]

euclidean norm ds^2(V)==Vi^2을 embedded submanifold 위의 tangent space에 restrict시킨 것, (u, v) coordinate에서의 norm을 나타냄. l=int sqrt(ds^2) =int sqrt(a'(t)^2) dt에서 ds는 곡선의 미소길이를 의미함

[익명(182.218)]

V가 곡면인지 좌표인지 자판기문자 표기가 익숙하지 않아서요. TpS위의 두 basis(그건 아마 X: R^2→R^3, dXu, dXv의 선형결합)으로 s라는 곡선의 미소길이를 구하는 거겠네요. s^2 = dXu^2 + dXv^2 .

[익명(223.39)]

ds^2의 제곱 표시는 notation에 가깝고 엄밀히는 symmetric bilinear form(rank 2 tensor field), 물리에서 metric tensor g라는 이름으로 불림

[익명(182.218)]

의미를 담아주신 답변 감사합니당. 사실 제가 혼동한 표기는 ds^2가 사실은 (ds)^2 를 나타낸다는 것이였어요..

[익명(182.218)]

제가 복습진도가 느려서 추가적인건 나중에 알아볼게요 고마워용