위키에 소개는 되어있는데 리만가설 항목에는 짤막하게 한줄로 소개되어 있기도 하고 심심해서 한번 써봄.
Li's criterion 이란 아래와 같이 정의된 lambda_n 이 모든 자연수 n 에 대해서 양수인것과 리만가설이 동치라는 정리임:
(Xian-jin Li, 1997)
좀 더 간단하게
로 표현되는데, 여기서 rho 는 리만 가설의 비자명 제로들임. n=1 일때 값은 리만 비자명 제로들의 역수의 합이니까
로 잘 알려진 결과임.
리만가설이 아직 참인지 거짓인지 모르고 Li's criterion 이 lambda_n 의 positivity 를 말하니까
이 이 수열이 왠지 0 근처에서 움직일것 같지만 사실은 다음과 같이 증가함
(Maslanka, 2004)
대략 lambda_n ~ c n (log n) 정도임. (c는 양의 상수, Euler gamma 가 들어가 있음)
또 lambda_n 을 다음과 같이 분리하면
(Coffey, 2004, 2005)
과 같고 두번째 합에서 eta_n 은 (zeta'/zeta)(s)의 s=1 근방에서의 로랑급수의 n 번째 계수임. 근데 계산해보면 알겠지만 이 계수들 구하는것 자체가 힘듬.
또 oscillation 이라 되어있는걸 보면 알겠지만 첫번째와 두번째 합의 behaviour 가 아주 극과 극임
첫번째는 n 이 커질수록 lambda_n 과 거의 같고 두번째는 작은 수준을 넘어 아래와 같다:
(Manslanka, 2004)
게다가 첫번째는 아주 좋은 바운드를 갖는데 lower 가
(Coffey)
이고 upper 도 위와 비슷함.
그럼 이 바운드와 lambda_n 의 behaviour 를 보면 Li's positivity criterion 에 입각해서 결국
오차를 조금 크게 허용해도 되는 이점과 함께 두번째에만 집중되겠지.
이정도면 리만가설이 참이라는 강력한 증거중 하나라고 생각함.
하지만 여기서 유의해야 할 점은 Li 의 논문이 나온지 무려 22년이 지났다는거...
어떻게 보면 22년이 긴 세월이 아니더라도 이 시간동안 이거 estimating 안해본 리만가설 연구자가 있을까.
리만가설과 관련된 결과는 대부분 간단해서 좀 파보면 가설이 증명될거 같지만 단순하지 않으니.
또 Li's criterion 과 비슷한 방법을 일반화한 Bombieri & Lagarias 1999 논문도 있으니 참고하면 좋을듯.
아래는 람다랑 에타 값들 테이블 (Coffey, 2005). 에타값이 eta_(n+1)=(-1/3)(eta_n) (또는 *(-1/e)) 인 경향을 보임.
(0~27)
(~100)
짤들은 Coffey (2004, 2005), Maslanka (2005) 의 캡쳐임을 밝힘.
ps. 전에 수갤에서 받은 무수한 비추수로 인해 https://gall.dcinside.com/board/view?id=mathematics&no=270757
뭐 소개해보려고 했는데 글이 너무길어질거 같기도 했고수갤이 완전 난장판이더라고.
아무튼 그때 쓰려고 했던건 원래 Prime geodesic thm over modular surface (Selberg trace formula) 에 관한 글이었는데
Riemann-Weil formula, 그리고 저 lambda_n 이랑 관련이 있는 주제이기도 함.
관심있는 사람 있으면 나중에 한번 써봄.
와! 화석의 등장!
해석적정수론인건 알고있었는데 리만가설 연구하시는건가요
나 스스로가 연구라 말하기엔 좀 뭐한 느낌이 있으니 그냥 졸업한 학부생의 적극적인 취미 정도로 말하겠음 ㅋㅋ
대학원생 아님?
국내 대학원 가려고 했었는데 관심사쪽을 하는 사람이 없어서 ㅋㅋ 면접보고 했는데 결국 등록을 안함
호옹.. 근데 oscillation이라고 적은 저 항이 그냥 꽤 커보이는데.. j=n/2근방서 binomial coefficient가 너무 크지 않음? 물론 한눈에 아 될거같이 보이네 했으면 누가 당연히 했겠지만..
오랜만입니다 / 데이터들 보고 저렇게 적은것 같은데 그러고보니 oscillation 이라 하기엔 아직 결과도 없고 바운드도 아직 못봤고... 하긴 이게 있으면 거의 증명에 근접하는 수준이 될 것 같음 ㅋㅋ
올만ㅋㅋ/ 아 착각했네... binomial coefficient가 4^n scale이라서 e^-n이나 3^-n 정도로 계수가 작아지더라도 지수적으로 큰거 아닌가? 했는데 2^n scale이지... 뭐 그래도 여전히 그냥 절대값 씌워서 어떻다고 말하기엔 좀 커보이긴 하지만 암튼 그렇구나 ㅋㅋ
ㅇㅇ 그래서 절대값 씌우지 않고 처음에 떠올려볼만한 방법은 저 eta_n/eta_(n+1) 의 극한 a(존재?)로 sum(eta_n -a^n)*bi.coef. 를 다루는건데, 이게 또 복잡해 보인다면 또 한 텀 다시 근사하고...ㅋㅋ 결국 이 방법은 에타의 좋은 근사를 구하고 그 다음 합을 처리하는 문제인데
예컨대 정말 좋은 경우로 poly. approx. 가 된다해도 거기에서 나오는 n th coef. 에 관련된 문제가 복잡해 질것 같긴 함
수갤 정보글 특) 심심해서 한번 써본다
ㄷㄷ
ㅗㅜㅑ한발빼고옴
이런거 보려고 들어온다 많이 써줭