문제를 풀다보니 항상 이런건가 싶어서요.
가령 시점 a, 종점 b인 폐곡선이 아닌 곡선에 대해서 f(z)를 적분할때 곡선의 모양과 상관없이 항상
시점과 종점만 잡아서 풀었거든요. f(z)의 모양과 상관없이 항상 이래도 되나 싶어서요.
얼마전에 보니까 폐곡선이면 안에서 해석적인지 판단하고 맞으면 걍 시점, 종점대로 적분하면 되지만,
해석적이지 않으면 곡선에 대한 식으로 치환해서 시점 종점을 다시 가져와서 적분하길래...
근데 문제를 보다가 & 이런모양처럼 시점과 종점이 다르지만 곡선이 안에서 폐곡선 모양을 만드는것도 걍 시점과 종점만 가져와도 되나요?
가령 시점 a, 종점 b인 폐곡선이 아닌 곡선에 대해서 f(z)를 적분할때 곡선의 모양과 상관없이 항상
시점과 종점만 잡아서 풀었거든요. f(z)의 모양과 상관없이 항상 이래도 되나 싶어서요.
얼마전에 보니까 폐곡선이면 안에서 해석적인지 판단하고 맞으면 걍 시점, 종점대로 적분하면 되지만,
해석적이지 않으면 곡선에 대한 식으로 치환해서 시점 종점을 다시 가져와서 적분하길래...
근데 문제를 보다가 & 이런모양처럼 시점과 종점이 다르지만 곡선이 안에서 폐곡선 모양을 만드는것도 걍 시점과 종점만 가져와도 되나요?
그 말은 너가 그 정리를 정확하게 모른다는거 아니냐? 정리의 정확한 statement가 뭔지 찾아보는게 순서같은데? 일단 내가 아는건 f가 영역 D에서 연속일 때, f가 영역 D에서 부정적분 F를 가지면, 영역 D 내부의 경로에 대한 f의 선적분은 경로에 독립이 되며 (따라서 F(종점)-F(시점)이 성립), 역도 성립함. 물론 복소체계에서는 부정적분을 가지는 함수는 해석적이니까 해석성 얘기도 할 수 있는데, 위의 정리에는 적어도 해석성이 끼어들 여지가 없음. (굳이 있다면, 비해석적이라 부정적분이 존재하지 않기에 경로에 독립이라 말할 수 없는 정도?)
위의 정리의 응용으로, 경로에 독립이니까 위의 조건을 만족한다면 폐곡선에 대한 선적분값은 0이 되고 다른 정리로, f가 한 단순연결영역에서 해석적이면 그 영역 내부의 임의의 폐곡선에 대한 f의 선적분 값은 0이라는 코시구사정리도 있음.
나도 이렇게까지는 아는데
알면 대체 어디가 헷갈리는거임?? 그 예시를 가져오는게 더 빠를거같은데
저번에 선적기존정리 찾아보다가, 폐곡선이 아닌 임의의 곡선에 대해서 적분을 하는데 이 경우에는 시점과 종점만 가져와서 적분하면 안된다. 그 이유는 다음에 알려주겠다. 해놓고 그 다음 내용은 안적은 블로그를 봐서
그럼 당연히 선적분의 기본정리의 기본가정이 성립하지 않는 경우겠지 가정이 성립한다면 정리써서 풀면 되니까
내가 개념이해를 잘못하고있나 싶어서 물어보고있었음
예를 들면 f가 연속이 아니거나 부정적분을 가지지 않거나 뭐 그런거 많잖음
아. 지금 거기서 다시 읽어보니까. 선적 기본정리쓸때 F(a(x,y),b(x,y))이 벡터가 보존적이고 이 벡터의 원시함수를 구할수 있냐 없냐. 였네...
님말대로 복소하고 엮어서 생각하다보니, 해석적인지 아닌지 여부만 생각하려가 삼천포로 빠진거같음. 결국 부정적분 가능하면 선적분의 기본정리를 쓸수 있는거 맞네요
ㄱㅅㄱㅅ.궁금한게 &모양의 곡선도 폐곡선으로 보나요?
&는 폐곡선이 아니고 8은 폐곡선임 폐곡선의 정의를 보시오
컬 0