R_K는 standard topology에서
K={1/n: n in Z+} 집합들을 뺀 걸
추가로 open set으로 갖는 topology입니다.
일단 path f:[0,1] -> R_k를 생각 합니다... f(0)=0, f(1)=1
이게 연속이기 때문에
codomain의 위상을 standard topology로 생각해도 연속입니다.
(R_K가 finer한 위상이기 때문에..)
그러면 f([0,1])은 compact connected in R입니다..
(R_K에서도 compact☆)
compact라서 closed and bounded이고
connected라서 intermediate value theorem에 의해 interval 입니다.
즉 닫힌 구간...
어차피 함숫값 자체는 위상이랑 별 상관이 없으니..
R_K에서 생각해도 닫힌 구간입니다 (※ 이런 논리가 적절한지...??)
f([0,1])는 0, 1을 포함하기 때문에... [0,1]을 포함하고..
그럼 f([0,1])는 compact이 아니게 돼 ☆에 모순입니다.
(f([0,1])-K, (1/(n+1), 2)를 cover로 생각하면.. compact이 아닙니다.)
- dc official App
R_K가 R 보다 finer한 위상을 가지므로 f : [0,1] -->(-infty, infty) 로의 함수가 R_K topology에서 연속이면, R topology로도 연속 임. 즉 R_K에서의 path는 R 에서 항상 보아온 path가 됨. f가 f(0)=0, f(1)=1인 path 일 때, R_K에서의 closed set K 의 역상 f^{-1} (K)도 [0,1]에서 closed set이 되어야 함. 이는 f^{-1} (0)의 적어도 한 원소가 f^{-1} (K)의 원소는 아니면서 f^{-1} (K)의 limit point가 되여야하므로 모순임. 따라서 R_K는 path connected가 아님.
오 감사합니다 K의 preimage를 생각못했었네요 훨씬 간결한 풀이... - dc App
R_K 가 R 보다 finer 하기 때문에 R에서 닫힌집합은 R_K에서도 닫혔지만, 본 지문 맨 아래부분에서 보여준 것처럼 R에서 컴팩트집합이 R_K에서 컴팩트집합일 필요가 없는 것 (즉 R_K에서는 하이네-보렐정리가 성립하지 않는점)이 재미있네요. 재미있는 내용 소개해 주셔서 감사합니다.