공부하다가 그런 내용이 없긴 한데 뭔가 위상공간X가 separable 하면 first countable axiom만족하는거같아서 물어봅니다.
혹시 위 명제가 참이 아니라면 간단한 반레 하나 알려주시면 감사하겠습니다.
제가 분리가능공간이면 처음가산공리 만족하다고 생각한 이유가
X가separable이다.
1. countable한 dense subset를갖는다.
2. dense subset는 closure가 X이므로 X/dense subset에 포함되는 open set은 공집합밖에 없다.
3. 따라서 공집합이 아닌 모든 open set은 dense subset과 하나 이상의 원소를 공유한다.
4. 1번에 의해서 X는 countable dense subset를 갖고 그 dense subset가 공집합이 아닌모든 open set과 하나 이상의 원소를 공유하므로 X는 first countable axiom을 만족한다.
이렇게 생각했거든요. 혹시 위에 글중에서 틀린부분이 있거나 한다면 지적 부탁드립니다.
혹시 위 명제가 참이 아니라면 간단한 반레 하나 알려주시면 감사하겠습니다.
제가 분리가능공간이면 처음가산공리 만족하다고 생각한 이유가
X가separable이다.
1. countable한 dense subset를갖는다.
2. dense subset는 closure가 X이므로 X/dense subset에 포함되는 open set은 공집합밖에 없다.
3. 따라서 공집합이 아닌 모든 open set은 dense subset과 하나 이상의 원소를 공유한다.
4. 1번에 의해서 X는 countable dense subset를 갖고 그 dense subset가 공집합이 아닌모든 open set과 하나 이상의 원소를 공유하므로 X는 first countable axiom을 만족한다.
이렇게 생각했거든요. 혹시 위에 글중에서 틀린부분이 있거나 한다면 지적 부탁드립니다.
https://proofwiki.org/wiki/Separable_Space_need_not_be_First-Countable
제가 first countable axiom을 잘못 이해하고있는거같네요.
R에 cofinite topology 주면 separable이지만 first countable은 아님.
first countable를 만족한다는게, 임의의점 x에 대해서 x를 포함하는 모든 open set과 하나 이상의 원소를 공유하는 countable subset을 만족한다는뜻 아닌가요?
아 제가 근방의 의미를 잘못알고있었네요. 답변 감사해요 ㅃㅃ