d가 2 이상의 양의 정수이고, 루트d가 자연수가 아닐 때
방정식 (x^2) - d(y^2) = 1 의 정수해 찾는 것을 보통 '펠 방정식을 푼다' 라고 하죠?
이걸 개인적으로 공부하고 있는데, 저는 우변이 1이 아니라 -1 인 경우까지 같이 생각하면서 공부하고 있습니다.
조금 구분을 하기 위해, 우변이 1인 경우를 '양의 펠 방정식', 우변이 -1인 경우를 '음의 펠 방정식' 이라고 이 글에서 구분해봅시다.
(아시다시피, 양의 펠 방정식은 언제나 해가 무한히 있지만, 음의 펠 방정식은 루트d를 연분수로 나타냈을때, 주기가 홀수일때만 해가 있다는 것을 이해했습니다.)
(물론, 음의 펠 방정식도 '해가 있다면 무한개 잇다' 라는 것 까지도 이해했습니다)
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여기서, 두 경우 모두에 대해서 fundamental solution이란, x와 y가 0보다 큰 해 들 중에서 x,y값이 가장 작은 경우를 말한다고 합시다.
양의 펠 방정식에서 fundamental solution을 x_1, y_1 이라고 하면, 양의 펠 방정식의 일반해 x_k, y_k는
(x_1)+(루트d)(y_1) 을 k승 해서 루트d에 대해서 정리해서 나온 것 까지 이해했습니다.
헌데 음의 펠 방정식에서 fundamental solution을 z_1, t_1 이라고 하면, 음의 펠 방정식의 일반해 z_k, y_k는
(z_1)+(루트d)(t_1) 을 2k-1승 (다시말해 홀수승) 해야 나온다고 하더라구요.
그래서 아래처럼 풀어봤습니다.
책에는 이렇게 씌여져 있는데, 저 마지막 파란 줄이 이해가 안되서 여쭤봅니다. ㅠㅠ
참고 : 다른 책에서 보면 "결과적으로 (z_1)+(루트d)(t_1)의 제곱은 (x_1)+(y_1)(루트d) 와 같다"
라는 사실까지 나와있는데, 그게 사실이라면 저 파란줄은 해결이 됩니다.
그리고 실제로도 참인 것 같긴 한데, 왜 그런지 이해가 되지 않습니다.
해결을 어떻게 해야할까요?
다른 일도 하느라 답변이 늦을 수 있다는 점 미리 죄송하다는 말씀 드리겠습니다 ㅠㅠ
어제 엄청 고민한 끝에 결국 풀었습니다!! 다른 분들께서는 따로 답변 안달아주셔도 됩니다!
다른데서 글 쓰느라고 ip주소가 바뀌었네요. 암튼 풀었습니다!