S가 다음 성질을 갖는 양의 정수의 집합이라 하자.


(a) 1∈S

(b) 1,2,3,...,k∈S이면 k+1∈S


그러면 집합 S는 모든 양의 정수의 집합과 같다.


T가 S 안에 있지 않은 모든 양의 정수의 집합이라 하고 T가 공집합이 아니라 가정하자.

정렬원리에 의해 T는 최소원소를 갖는다. 이를 a라 하자.

성질 (b)의 대우는 k+1∉S이면 1,2,3,...,k∉S이므로 이에 의해 1,2,3,...,a-1∉S이다.

그런데 1∈S이므로 모순이다. 따라서 T는 공집합이고, S는 모든 양의 정수의 집합이다.