미분(differential)은 숫자인가요? 변수인가요?
전미분
의 기하학적 의미는 뭔가요?
dy/dx = f'(x) 에서 dy = f'(x) dx 라고 쓰면 이것도 (굳이 말하자면 일변수함수의) 전미분인가요? 그러면 전미분이란 것은 dy/dx 를 분수처럼 보고 식을 변형한 것에 지나지 않는걸까요?
기호놀이하는것 같아서 답답합니다. 수학답게 규칙을 정확히 알려주면 좋겠는데...
[대학교이상] 미분(differential)은 숫자인가요? 변수인가요?
익명(147.47)
2021-11-01 18:14
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미분은 함수로 이해할수도 있고, 벡터로 이해할수도 있음. 코벡터를 배우고 나면 사실 같은거라는 걸 알게 될텐데
규칙은 정확히 있긴 하지만 그걸 가르쳐주기에는 배울게 더 필요해서 대충 퉁치는 느낌이지. 고교 과정에서 극한 퉁치는거랑 비슷함. 지금 상태(가 어떤지 모르겠지만 대학교 1학년 미적분학 수준이라고 하면)에서는 그냥 공간상의 단위벡터라고 받아들이는게 제일 편할걸
ㅠㅠ 코벡터는 첨들어보는 용어네요. 숫자로 이해할 수는 있나요? (그래서 숫자로 취급할 수는 있나요?) / 남들이 쉽게 이해하고 넘어가는걸 저는 잘 안돼서 우울합니다.
'단위벡터'요? 길이가 1인가요? '아주 작은 양' (델타x) 처럼 보기도 하던데.. 아주 작은 양이라면 길이가 1은 아닐 것 같은데요??;; 제 이해가 부족한 건가요?
그러니까 결국 우리가 구하고 싶은 건 f의 변화율인데, f가 다변수함수라면 그 변화율이 변수 하나로는 표현할 수 없는거지 그래서 z = f(x,y) 라는 3차원의 함수를 예로 들면 이 f의 변화율을 알기 위해서는 x방향 변화율 df/dx와 y방향 변화율 df/dy (둘 다 라운드 d인데 편의상 그냥 d로 씀)을 둘 다 고려하야 하고
f의 변화율 = (df/dx, df/dy)로 쓸 수 있는데 선형대수학을 들으면 이 값을 df/dx * (1,0) + df/dy * (0,1) 로 표현할 수 있다는 것을 배운다
단위벡터는 (1,0), (0,1) 이런 애들이 단위벡터이고 그러면 df = (df/dx)dx + (df/dy)dy 로 쓰는 것도 dx = (1,0), dy = (0,1)로 대체한 것에 불과함 (여기서 괄호 안에 있는 d는 라운드, 괄호 밖에 있는 것은 d) 그래서 미분으로써의 dx_i 같은 것들은 x_i 방향의 단위벡터(방향)로 이해하는게 제일 속 편함
선대는 배웠고 아주 모르진 않습니다... 말씀하신대로 df/dx * (1,0) + df/dy * (0,1)로 쓸 수 있는건 알겠어요.
그러면 df/dx 라는 표현은 단위벡터 분의 단위벡터인가요? (단위벡터 ÷ 단위벡터) / 벡터와 스칼라의 곱이나 벡터끼리의 곱인 내적, 외적은 배웠는데 벡터의 나눗셈이라니... 이건 또 뭔가요? ㅠㅠ
그래서 그렇게는 표기하지 않음 (정의하지 않음) 라운드f/라운드x는 그냥 편미분이니까 잘 정의되지만 전미분 df에 대해서 df/dx와 같이 쓰지는 않음
예전에 계속 답변해주셔서 감사합니다. 설명해주신 내용 잊지 않고 시시때때로 생각하고 복습하는데요 문득 든 생각이 있습니다. 전미분이 어떤 다변수함수의 그래프 모양을 알려준다고 생각하거든요. 그런데 비슷한 역할을 하는게 그래디언트(gradient) 아닌가요? 다만 그래디언트는 접평면의 법선벡터니까 혹시 이런 관계가 성립하려나요? "(벡터로 본) 전미분과 그래디언트는 서로 수직이다. 내적이 0이다"
f(x_1, x_2, ... x_n) = y 라는 함수의 gradient = df 정확히는 f의 1-형식 df가 직교좌표계에서 grad(f)로 나타내어짐
아 맞다... 정의를 생각해보면 벡터로 본 전미분 df = grad f 군요. (그래디언트는 '수직'이라는 이미지가 있었고, 전미분은 '진행하는 방향' 이런 이미지가 머릿속에 있어서 제가 착각했네요.) 감사합니다!
음;;; 솔직히 dx가 단위벡터라고는 처음 들어봐서 조금 낯설어요...
그러면 다변수함수 f(x, y)의 변화율을 알고 싶은데 x방향으로 변화율을 알고싶으면 라운드f/라운드x를 구하면 되고, y방향으로 변화율을 알고싶으면 라운드f/라운드y를 구하면 되죠. 그런데 전미분은 어디다가 쓰는건가요?
말 그대로 전체(total) 변화율을 알고 싶을 때 쓰지. 정의만 봐도 알겠지만 편미분 값들을 한꺼번에 보여주잖아 사실은 적분을 쉽게 하려고 이렇게 표현한건데 뒤에 가서 선적분 같은거 배우면 감이 올 수도 있음
오, '편미분 값들을 한꺼번에 보여준다'라고 하신 말씀이 도움이 되는듯해요. dx, dy를 단위벡터처럼 본다는 말씀도요. 그러면 df도 단위벡터인가요? 이건 항상 그렇다고 보기 힘들지도 모르겠는데요...
df 자체가 f의 변화율을 x_i들(좌표)을 통해서 나타내고 싶은 거니까 dx_i들을 좌표의 기본단위벡터로 이해해도 괜찮다는 뜻이었고, f위에서 더 무언가를 할 게 아니면 df를 단위벡터로 이해하는 건 이상하지
전 y'=f'(x)=dy/dx 이렇게 고등학교에서 배우고 잘 쓰면서 살았는데 dy만 따로 떼어내서 쓰는걸 잘 모르겠네요... 그럴 수가 있는지조차도요. (아마 가능하니까 책에서 그렇게 쓰겠지만요)
치환적분할때 f(t) = x이면 f'(t) dt = dx 이렇게 쓰는 거 배웠을지 모르겠는데, 이런게 가능한 것도 미분형식을 정의해서 그런 것
고등학교 졸업했는데 치환적분 당연히 배웠죠...
여기서 dx가 따로 떨어져 있는 것도 이상하지 않아? 근데 미분형식을 정의하면 x의 변화율 = dx = (라운드x/라운드t)*(t방향) = (라운드x/라운드t)*dt = f'(t) dt 로 쓸 수 있는거지 이거의 다변수 버전이라고 받아들이면 됨
네, 치환적분 배울때 너무 이상했어요... 그래서 그 유명한 말인 '분수는 아닌데 분수처럼 쓴다' 분수처럼 쓸 수 있으니까 dy/dx = f'(x) 에서 우변 분모인 dx를 양 변에 곱해준다고 생각했습니다.
x의 변화율 = dx = (라운드x/라운드t)*(t방향) = (라운드x/라운드t)*dt = f'(t) dt 이라고 하셨는데 어떤 변수에 대한 x의 변화율을 말씀하시는 건가요?
치환적분이니까 t의 변화에 대한 x의 변화율이지
t의 변화에 대한 x의 변화율을 구하고 싶으면 dx/dt 구하면 끝이지 않나요? 그러면 dx/dt 라고 하셔야지 왜 "x의 변화율 = dx" 라고 하신거죠?
이거는 고등학교에서 선생들이 설명을 이상하게 한 결과라 생각됨. 위에서 댓글로 이야기 한것처럼 f'(x)=dy/dx이고 dy=라운드x , , , , ,dy=f'(x)dx 인데 고등학교 선생들이 "이걸 떼어내는것이다"라고 설명한 결과 이렇게 되었다고봄.
뭔 이상하게 쉼표가 들어갔네. 일변수에서는 저렇게 떼어내듯이 해도 상관없으니까 고등학교선생들이 "떼어낸다"라고 하는데 다변수가 되면은 떼어낸다는 표현은 아닌거같음
그러면 다변수에서는 어떻게 설명해야 하죠? df, dx, dy 이런것들(이게 미분(differential) 맞죠?)은 뭔가요? 숫자인가요?
ㅠㅠ 제가 빡대가리라 죄송합니다. 이걸로 교수님도 괴롭혔는데 방금 설명해주시던분도 포기하신듯...;
부족한 것은 죄송할 일이 아니다 부족한데 배울 생각 없는 것이 죄송할 일이지
x의 변화율 = dx = (라운드x/라운드t)*(t방향) 이라고 하셨는데 '어떤 변수에 대한 변화율'인지에 대한 말이 없고 *(t방향) 은 뒤에다가 방향을 곱한다는 건가요? ;;; ㅠㅠ 숫자 곱도 아니고 방향 곱이라니...
런이 아니고 다른 할일이 있으니까 못 단거지 참을성이 부족하구나 선형대수학 배웠으면 스칼라랑 벡터 알거아냐. (라운드x/라운드t)가 스칼라고 dt가 벡터인거지 여기서는 1변수라서 1차원 벡터이고 따라서 벡터 = 스칼라가 성립하지만 다변수에서는 안되는 것
t의 변화에 대한 x의 변화율을 구하고 싶으면 dx/dt 구하면 끝이지 않나요? (x가 t를 포함한 다변수함수라면 라운드x/라운드t) 그러면 dx/dt 라고 하셔야지 왜 "x의 변화율 = dx" 라고 하신거죠?
말장난 같아 보이겠지만 다변수에서는 f의 변화율을 볼 때 특정 변수 하나에 대해서만 보는 건 전체를 보는게 아닌거니까 df = Sigma (라운드f/라운드x_i) dx_i 라고 전미분을 쓴다는 건 위에서 했고 여기서 f가 다변수가 아닌 1변수라면 df = (라운드f/라운드x) dx 처럼 쓸 수 있는거지 치환적분에서 나오는 표기의 정체가 전미분이었다는 얘기
제 상태가 어떤 고딩이 dy/dx가 뭐임? 이렇게 물으면 x에 대한 y의 변화량 (=즉, x를 변수로 본 y의 도함수) 라고 답할 수 있겠는데 그러면 dy는 뭐고 dx는 뭐임? 이 질문에 답을 못하는 상황같아요..
dy/dx = 'x에 대한' y의 변화량 dy = y의 변화량 y가 x를 변수로 가지는 일변수함수라면, y의 변화량은 y = f(x)일 때 f'(x) dx 로 밖에 쓸 수 있다. y가 다변수함수라면, y의 변화량은 각 변수 x_i들에 대한 변화량을 한꺼번에 나타내어야 하므로 dy = Sigma (라운드y/라운드x_i) dx_i 로 쓸 수 있다.
"dy = y의 변화량" 이라고 하셨는데 dy = (모든 변수에 대한) y의 변화량 이라고 생각해도 되나요?
ㅇㅇ 근데 y가 일변수면 그게 그 '모든' 변화량이 x밖에 없는 경우고
df(x, y, z) =1 이라면 3변수함수 f는 변화량이 1인 함수겠죠. 그 예로는 뭐가 있을까요?
df(x, y, z) = 1은 틀린 표현인데, f는 3변수함수니까 각 방향을 전부 고려해줘야 하며, 모든 방향의 변화량이 1이라면 df = 1*dx + 1*dy + 1*dz 이므로 df = dx + dy + dz 로 써야 한다. 이 함수 f의 정체는 f(x, y, z) = x + y + z + C (C는 상수) 이고
'df(x, y, z) = 1은 틀린 표현' 이 말씀이 도움이 돼요. 그러면 df(x, y, z) = ~ 이라는 표현이 있으면 이 식의 우변에는 '반드시' dx, dy, dz 라는 기호가 등장하나요?
ㅇㅇ 옆에 그게 나오지 않을 수 있는 건 0이 곱해져있는 경우밖에 없음
미분 = differential = dx 는 미소증가량인가요? 그러면 dy = 델타y 인건가요? ㅠㅠ
그러면 f(x, y) = 3xy^2 이라고 하면 f의 변화량 df = 3y^2 dx + 6xy dy 이고 이 식의 의미는 "f는 x방향으로 3y^2 만큼 변화하고 y방향으로 6xy만큼 변화한다" 라고 하면 되겠네요. 변화량이라고 하지만 x, y의 값에 따라 다르니까 숫자가 아닌 변수(?) 고요.
ㅇㅇㅇㅇㅇㅇ
x, y값에 따라 값이 달라지는 함수지
ALTa님 감사합니다. 그러면 dy가 '미소증가량'이다 라는 말에 대해선 어떻게 생각하시나요? 즉, " dy = lim_{델타y->0) 델타y "이런 말이요. (보통 물리학에서 이런 생각을 하는 것 같아요)
일변수에서는 맞는 말임. 근데 다변수에는 여러 방향이 존재하니까, '량'이라고 쓰면 스칼라를 말하는 것 같으니까 그렇게 말하기는 좀 그렇고. 그래서 그냥 미소변화(벡터)라고 이해하는게 맞을 것 같음 (대충 속력과 속도의 차이 정도)
ALTa님 감사드려요. 나름대로 정리하고 생각해보면 설명해주신것중에 전미분 df는 "말 그대로 전체(total) 변화율을 알고 싶을 때 쓰지." 이 말이 제일 도움이 되어요.. 그리고 df = ~ 에서 우변의 dx, dy 의 계수가 각각 x, y 방향으로의 변화율이겠고요.
그러면 이렇게 생각해도 될까요? 2변수함수 f(x, y)가 있는데 우리가 변화율을 알고싶어. 그래서 x방향으로 미분했더니 라운드f/라운드x = 3y^2이 나왔고, y 방향으로 미분했더니 라운드f/라운드y = 6xy가 나왔어. 그런데 이렇게 x방향 y 방향으로 미분한 라운드f/라운드x = ~ , 라운드f/라운드y = ~ 이렇게 등식을 두 개나 쓰기 귀찮아. 그래서 한번에 df = 3y^2 dx + 6xy dy 라고 쓸거야. 이 식의 의미는 (라운드f/라운드x = 3y^2, 라운드f/라운드y = 6xy) 이 두 등식을 합쳐 놓은 거야. 즉, 동치야.
지금 단계에서는 그정도만 이해해도 된다. 사실 그렇게 전미분(을 포함한 미분형식)을 쓰는 이유는 그렇게 쓰는 데에 이로움이 있기 때문인데, 그게 뭔지는 나중에 배워보도록 하자
알겠습니다... 근데 언제 그 이로움을 배우게 될까요...? 미분기하학을 배울 때일까요?
뭐 미적분학 뒷부분에만 가도 선적분 그린정리 스톡스정리 이런거 할텐데 그것도 미분형식을 활용한거고. 미분기하학에서 미분형식 제대로 배우고 나면 다양체에서의 적분과 스톡스정리 증명까지 하게 되지
그거슨 바로 드람코호몰로지
함수는 0-form이고 전미분은 0-form인 함수를 1-form으로 변환하는거야
나중에 엄밀하게 배우게 됨. 대충 말하면 각 점마다 선형함수의 공간이 달려있는데 df는 각 점마다 f의 1차항 성분을 주는거고 이건 dx1,…,dxn으로 생성되고 계수가 그 방향으로의 편미분과 같아짐. 이건 접벡터에 대한 선형함수로도 볼 수 있고 한 점에서 0인 함수들의 공간을 I라고 하면 각ㅈ
점마다 I/I^2의 원소를 주는것과 같기도 하고 이게 더 일반적인 정의기도 함. 아무튼 쉽게 말하면 그냥 ‘1차항 성분 함수’의 공간이란걸 잘 구성할 수가 있고 df는 공간에 들어가는 f의 일차항 성분을 준다고만 알고 있으면 될듯
변화율의 관점에서 보자면 first derivative라는게 결국 일차항 성분의 비율이라는걸 생각하면 df와 dx의 관계가 변화율을 뜻한다고도 해석할 수 있지
보통 1-form이라고도 부르는 ‘일차항 성분 함수’들의 공간(위에서 함수를 0-form이라고 했는데 이건 각 점마다 0차항 성분, 즉 어떤 값을 주는 것을 뜻함. 각 점마다 값을 주는걸 함수라고 정의하지)을 구체적으로 구성할만한 수학적인 툴이 없으니까 지금은 이해가 어려운게 당연함 일단 대충 변화율에 대한 정보를 준다 이런식으로 넘기고 나중에 충분한 대수적 기초를 쌓고 나서(기초가 그렇게 많이 필요하지도 않음) 구체적으로 만들어보면 됨
보통 미분기하쪽 과목에서 differential form을 처음 배우고도 직관적으로 이해하지 못하는 경우가 있는데 이건 접벡터에 대한 선형함수라는 추상적 정의로 처음 배우기 때문임 나중에 이걸 배우더라도 form들은 함수와 ‘같은 편’에 있는 놈이라는걸 기억하면 도움이 될듯 (즉 tangent space보다 cotangent space가 더 자연스럽다는? 말임)