(X,S,μ), (Y,T,λ)가 각각 measurable space이고 f(x,y): (X x Y) -> IR인 함수라고 했을 때,
푸비니 정리는 \int_{X x Y} f(x,y) d(μ x λ) = \int_{X}(\int_{Y}f(x,y)d(λ))d(μ)가 성립한다는 거잖아?
그런데 푸비니정리의 왼쪽 식의 적분이 잘 정의되려면 1. f(x,y)가 positive이거나 2. f(x,y) \in L1(μ x λ)이면 된다는데 그 이유를 잘 모르겠음.
그냥 measurable이면 잘 정의되는거 아닌가? 1.positive라고해서 특별히 잘 정의될 이유가 없는 거 같음. 그리고 2. f(x,y) \in L1(μ x λ)이 잘 정의되려면 먼저 푸비니정리의 왼쪽 식이 먼저 잘 정의되어야 하는데, 논리 순서가 약간 이상한 거 같음.
누군가 설명해주면 매우 고맙겠음..
'등식이 성립하려면' 아님?
뭔 소리야 measurable이기만 하면 적분이 잘 정의된다고? 르벡적분 배운거 맞음?
그냥 measurable하다고 적분이 잘 정의되는게 아니지.
그리고 왼쪽 적분이 어떻게 정의되는지는 product measure가 어떻게 정의되는지 배웠다면 당연한 것임.
f in L1는 |f| 적분만 해서 확인하는거고 이건 positive니까 괜찮지
예를 들어서 f를 nonnegative한 부분 f+ 와 nonpositive한 부분 f-로 나눴을때 둘다 무한이나 -무한이 아니면 적분을 정의해줄수 있겠지. 꼭 푸비니 정리가 성립하기 위해서 f가 positive이거나 L^1이어야 할 필요는 없음. 근데 어차피 f+와 f-에 개별적으로 푸비니를 적용시킨다 생각하면 저 두 경우로 제한해도 충분함.