양수 x_1,..,x_k에 대해서
(x_1+...+x_k)/k가 (x_1 x_2... x_k)^{1/k} 이상임을 보이면 되는데, 적당히 x_1,..,x_k 전체에 상수배를 취해서 x_1+...+x_k=k라고 가정해도 무방
그렇다면 x_1x_2..x_k가 1 이하라는걸 보이면 충분 e^{x-1}이 x 이상이라는 사실을 이용, x에 x_1,..,x_k를 대입해서 곱하면
e^{x_1-1} * e^{x_2-1} * ... * e^{x_k-1}이 x_1x_2...x_k 이상이 되는데, 좌변은 e^{x_1+...+x_k-k}=1이기 때문에 증명완료
문제없음?
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문제 없음. x_1,..,x_k 전체에 양수 C를 곱하면 (x_1+...+x_k)/k는 C배가 되고 (x_1 x_2...x_k)^{1/k}도 C배가 되어서 x_1+...+x_k를 특정한 값으로 고정시켜도 됨
상수 c를 (cx_1 + ... + cx_k) = k 가 되도록 결정하는건데 그러면 보여야 되는 부등식은 c(x_1 + ... + x_k)/k >= c(x_1 * ... * x_k)^(1/k) 이거잖아 좌변이 1로 고정되면 보여야 되는 부등식은 1>= c(x_1 * ... * x_k)^(1/k) 이건데
C = (x_1+...+x_k)/k로 두고 y_i = x_i/C로 두면 y_1+...+y_k = k가 되고, 본문의 증명에 의해서 (y_1 y_2 ... y_k)^{1/k}가 1 이하라는 결론을 얻고, y_i를 x_i/C로 치환하면 (x_1 x_2 ... x_k)^{1/k}가 C 이하라는 결론을 얻어서 증명이 되는데.
이해했다. 내가 틀렸네. 감사합니다
C=k/x1+..+xk아냐? - dc App
첫번째 댓글에는 전체에 C를 곱했고 세번째 댓글에는 전체에 대해서 C를 나눠서 그럼. 아마 해석학 전공하는 분들이라면 저렇게 상수배 취했을때 불변이거나, 아니면 차원에 대해서 불변이거나 (이 경우는 tensor power trick) 할때 부등식 증명하는 아이디어에 익숙할거라고 생각함.
c랑 C랑 다른거냐 첫댓 c는 k/x1+..+xk로 고정아님? - dc App
표준적인 방법임. 잘했어