M,N은 surface in R^3
f:M ->N을 local diffeomorphism이라고 하자
임의의 geodesic r에 대해 f•r이 geodesic이고
L(r) = L(f•r) 이면 f가 local isometry임?
(•은 합성이고 L(r)은 r의 길이)
숙제 아님. 어디서 본 문제도 아니라 참거짓을 모르겠다.
참인것 같은데.. 증명을 못하겠다. u1, u2 curve중에 geodesic인거 골라서 matrix coefficient 동일한거 증명하고 싶은데..
귀류법으로 하면 될듯 함 local isometry가 아니라고 가정하면 (u,v) != (Df(u),Df(v)) 인 점의 근방에서 geodesic 의 길이가 다름
(Df(u),Df(v)) 기호 의미좀 내가 쓰는 기호랑 달라서..
local isomtery가 아니면 어떤 tangent vector u 에 대해 |u| != |dfu| 인 점이 있잖음(일반성을 잃지 않고 |u| > |dfu| 라 하자) 그 점을 p라고 하면 df 는 연속함수니까 p의 어떤 근방에서 |v| > |dfv| 이도록 곡선을 잡을 수 있고 그럼 geodeic의 길이가 다르잖음 문제의 가정에서 L(r) = L(f•r) 이라고 했으니까 모순이므로 f는 local isometry여야함
아 고맙다 이제 어떻게 써야할지 알겠다 아래 내 풀이는 cooedinate patch를 좀 특정 모양으로 잡아야되네..
이거 이렇게 풀 수 있나? local isometry가 아니라고 하면 임의의 coordinate patch X:u -> M(원래는 M의 부분공간이지만 편의상 M이라 쓰겠음) Y:u -> N 에 대해 X의 matrix tensor != Y의 matrix tensor ...(1) 이제 Y = f•X로 잡으면 Coordinate patch고 (1) 성립
r을 geodesic 이라고 하면 <br />geodesic도 일종의 curve 이므로 길이를 matrix coefficient를 사용해 쓸 수 있고 그러면 ||r'(t)|| !=||(f•r)'(t)|| geodesic 길이 동일하다는 가정에 모순
근데 이러면 딱히 geodesic의 성질을 쓴건 아니네 굳이 geodesic이 아니라 아무 커브라도 되겠는데.. 문제가 어째 좀 애매하다