4. 다음 적분값을 구하여라. Z Z Z R3 e −3x 2−3y 2−2z 2−2xz+2yzdxdydz.


 5. 양의 정수 n (n ≥ 2)에 대하여 n × n 실행렬로 이루어진 실벡터 공간을 Mn(R)이라 하자. 다음의 조건을 모두 만족하는 부분집합 V 는 Mn(R)과 같음을 보여라 (단, Eij는 i행과 j열이 만나는 항만 1이고 나머지는 모두 0인 행렬). (1) V 는 Mn(R)의 부분공간이다; (2) A, B ∈ V 이면 AB ∈ V 이다; (3) E12 + E23 + · · · + En−1,n ∈ V 이고 E21 + E32 + · · · + En,n−1 ∈ V .


 6. 함수 f : R → R는 두 번 미분가능하고 f(0) = 0을 만족한다. 다음 부등식을 증명하여라. Z 1 0 |f(x)f 0 (x)|dx ≤ 1 2 Z 1 0 |f 0 (x)| 2 dx.


 7. 실행렬 A, B는 고유치가 모두 양수인 n×n 대칭행렬이다. 임의의 n×n 실행렬 C에 대하여 2n×2n 행렬 A C C T −B 는 역행렬을 가짐을 보여라 (단, C T는 C의 전치행렬). 8. 연속함수 f : [a, b] → R는 임의의 t ∈ [0, 1]와 x, y ∈ [a, b]에 대하여, f(tx + (1 − t)y) ≤ tf(x) + (1 − t)f(y) 를 만족한다 (단, a < b). 다음 부등식을 증명하여라. f a + b 2 ≤ 1 b − a Z b a f(x)dx ≤ f(a) + f(b) 2