[일반] 미방 해석학 빡고수님덜 이거 증명점

[익명(121.88)]

https://math.stackexchange.com/questions/4296247/existence-of-point-with-prescribed-value-from-given-differential-equation

스택 익스체인지에도 올렸는데 아무도 답을 안해주네 나도 계속 시도해보는데 전혀 감이 안잡힘... 문제는 일단 R^2에서 non self intersecting curve의 탄젠트 벡터가 커브의 처음-끝을 잇는 벡터와 같은 방향을 가리키는 순간이 한번은 있다는 문제임. 그림을 그려보면 맞는거 같은데 증명을 어찌해야할지 몰겄네

[ultraproduct(ultraproduct)]

Cauchy's mean value theorem.

[익명(121.88)]

그건 이미 답변에도 나와 있는데 그거로 부족함. 평행하기만 하면 되는게 아니라 "같은" 방향을 가리켜야함(proportion constant가 양의 실수)

[익명(210.57)]

시작/끝점을 (0,0),(0,1)에 두고 반례가 있다고 하고 곡선이 x>0 범위에만 있다고 하면 x값이 제일 큰 부분에서 접선이 수직방향인데 이때 반대방향으로 가면 self intersection이 생김. x>0, x<0 두 범위 다 지나는 경우엔 x값 제일 큰 쪽이랑 제일 작은 쪽에서 마찬가지로 둘 다 아래방향으로 가야되는데 이경우에도 무조건

[익명(210.57)]

self intersection이 생김

[익명(210.57)]

일단 그림으로 따라 그려보면 어떤식으로 흘러가는지 이해갈거임. self intersection 생긴다는거 증명이 제대로 서술하려면 약간 귀찮은데 첫번째 case는 x가 제일 큰 점에서 x=k에 접하는데 x=k-epsilon이랑 곡선이랑 딱 두점에서 만나게 할 수 있음. 그리고 이 두 점을 윗점을 a 아랫점을 b라고하면 (0,0)은 a랑 이어지고

[익명(210.57)]

b는 (1,0)이랑 이어지는데 a가 b보다 위에 있고 각 점을 잇는 곡선은 x가 0에서 k-epsilon사이인 범위에만 존재해야하니까 교점이 무조건 생김. 두번째 case는 (0,0)에서 x값이 양수인쪽을 먼저 간다고 하면 처음으로 x=0이랑 다시 만날때 교점이 (0,0)보다 위에 있으면 첫번째 case에서 했던것과 사실상 똑같음.

[익명(210.57)]

그래서 교점c가 (0,0)아래여야함. 근데 생각해보면 c를 처음에 (0,0)인걸로 생각해도 같은 논증이 적용될 수 있음. 이런식으로 다음에 x=0과 만나는 교점을 d라 하면 d는 c보다 맡에 있어야하고... 계속해도 x=0과의 교점이 (0,0)위로 올라갈 수가 없음. 즉, (1,0)을 절대 지날수 없게됨.