무한집합끼리의 차집합에서 의문이 생기는데
예를들어 자연수집합이랑 짝수집합을 비교해보면
짝수집합은 자연수집합의 진부분집합이니까 이 논리대로면 자연수집합-짝수집합이 당연하게 무한집합이 나올거라는 생각이 듬
근데 자연수집합이랑 짝수집합 사이에는 일대일대응함수가 존재하고 즉 두 집합의 원소의 개수가 같음(equipotent)
이 논리에 의하면 두 집합 원소개수가 같으니까 자연수집합-짝수집합은 공집합이 아닌가 하는 생각이 문득 드는데
어떻게 받아드려야 할까
두 집합이 원소개수가 같은데 포함관계가 성립하는것도 좀 띠용하고
- dc official App
차집합의 크기가 집합 간 크기의 차이는 아니지
자기 진부분집합이랑 일대일대응이 있을 수가 있다는 거를 무한집합의 정의로 쓸 수도 있음 - dc App
그냥 크기보단 injection의 존재라고 받아들여
"무한"에 대한 연산이 우리가 쉽게 생각하는 것과는 다르다는 거지. 즉, 무한-무한은 0일수도 무한일수도 유한일수도 있어. 즉, 무한-무한은 제대로 정의할 수 없는 거야. 계산이 안되는거지. 그러니, 계산도 안되는 거 계산해놓고 논지를 이어가봐야 다 쓸데 없는 소리란거.
계산이 안되지는 않지 않나? 자연수집합-짝수집합은 홀수집합이고 자연수집합-자연수집합같이 같은거끼리 빼면 공집합이고 - dc App
A=자연수 전체, B=2 이상의 자연수 전체로 놓으면 |A|-|B|=?
차집합을 계산하는 것과 원소의 "개수"를 빼는 것은 전혀 다른 이야기야.
아 그러면 (자연수전체 A) - (2이상 자연수 B)는 차집합계산으로 그냥 {1}이 되는데 갯수를 빼는 lAl-lBl는 0 이 되는거 맞나? - dc App
ㄴ무한대 빼기 무한대를 어떻게 정의할거냐고? 정의가 안된다니까, 정의할 수 없다니까 자꾸 왜 그래?
|A|=|B|+1=|B|잖아. 너 말대로 |A|-|B|=0이라고 해버리면, 첫 식에서 1=0이 나와버려. 말이 안되지? 그럼 어떡해야 해? 이게 무한대끼리 빼는 걸 정의하지 않는 까닭이야. 마치 0으로 나누는 걸 정의하지 않는 것과 같아.
(A의 부분집합 B에 대해서) |A-B| = |A| - |B| 가 성립하는건 A가 유한집합일 때만 그렇다
A가 자연수집합이고 B가 짝수집합이면 뺀게 홀수 집합이 되니까 무한집합여도 가능한거아닌가? - dc App
애초에 초한기수에서 뺄셈을 잘 정의하지 않음 그 이유는 앞서 얘기한 것과 마찬가지 A가 정수 B가 짝수면 |짝수| = |홀수| = |정수| = ℵ0 이므로 여기서 뺄셈을 정의할 수 있다면 ℵ0 = ℵ0 - ℵ0 이 되어야 하는데 우변의 값이 0이 되는게 자연스러운데 그럼 말이 안되지
윗 댓글에도 있는데 어떤 집합이 무한집합일 필요충분조건은 그 집합의 진부분집합이 자기 자신과 일대일대응일 것 이라서 기수의 뺄셈은 유한집합에서나 얘기할 수 있다
어떤 상황이 됐든 뺄셈을 말해주려면 역원이 잘 정의돼있어야하고 만약 어떤 모노이드가 주어져있으면 이게 그룹으로 확장이 될 수 있어야한다는 말임 cardinal들의 덧셈 모노이드는 x+x=x인 x가 존재하기때문에 뺄셈을 말한다는건 nonsense임