무한집합 X와 X의 유한 부분집합 Y에 대하여
X-Y가 무한집합임을 보이려고하는데 이렇게해도 문제없는지 여쭙고싶습니다.

(공집합인경우는 따로 한다치고 공집합아닌경우에)

첫번째방법
서로소인 유한집합 A,B에 대하여 AUB가 유한집합임을 보이고 (AUB~{1,2,...,n(A)+n(B)} 적당히 함수잡아서 보이고)
X-Y가 유한이라 가정하면 X=(X-Y)UY 가 유한집합이 되므로 모순 따라서 X-Y는 무한

두번째방법
자연수n에대해 귀납법으로(무한집합에서 원소 한개뺀거가 무한집합임을 이용)
X의 부분집합 Z가 Z~{1,2,...,n}이면 X-Z가 무한집합임을 보이고
Y가 X의 공아닌 유한부분집합이면 Y~{1,2,...,n}인 자연수n이 존재하므로 X-Y는 무한

둘다 문제없을까요?