아래의 실적분을 구하라는 문제가 있음
보통 공대에서 배우는 방법으로는 경로를 아래와 같이 잡음
그러면 C에 대한 경로적분은 C1(-R에서 R까지 직선)에 대한 적분 + C2(원둘레 위)에 대한 적분인데
C2에 대한 적분은 R→inf면 0이 돼서 C1에 대한 적분이 Cauchy Principal Value가 된다 이렇게 배우거든?
근데 우리 교수님이 굳이 R이 어떤 상수일 때 적분값을 구하고 거기서 R→inf일 때 값이 어떻게 되는지를 보이라고 하심;
그래서 시도를 해봤는데..
1/(z^4+1) 그냥 적분하는 건 좀 어렵더라고 그래서 부분분수를 해봄
근데 C1 : t (t is from -R to R)로 두면 dz=dt니까 그걸 대입했는데
뭔가 계산을 진행할수록 이상한 거임 이렇게 해도 되는 건가? 싶고
일단 계속 해봤는데 Ln((R+c)/(-R+c)) 꼴은 울프람알파 쳐보니까 R to inf 하면 다 -iπ로 수렴하더라고
근데 부분분수 전개하면서 나온 계수가 서로 +-로 상쇄돼서 R→inf면 저거 다 서로 상쇄되지 않음?
실제로 1/(z^4+1) 이상적분 쳐보니까 유한한 값으로 수렴하던데
부분분수 쓰지 말고 좀 어렵게 정공법으로 적분 해야하나...
같은 논리로 C2에 대한 적분도 상수 R에 대한 적분값 구한 후 R→inf일 때 0임을 보여야 하는데;; 하
residue 정리가 제일 쉬운데 그냥 계산시키는 건 좀...
contour integral 안쓰고 1/(x^4+1)를 -무한대부터 무한대까지 적분하는 건 여기 있는 답변 참고해도 될 것 같음
https://math.stackexchange.com/questions/426152/evaluating-int-0-infty-fracdx1x4
ㄱㅅㄱㅅ 함 읽어보겠음.. - dc App
두번째에 lab bhattacharjee이 단 답변 보고 있는데, 이 답변이 이상적분을 바로 계산하는 거엔 좋은데 지금 내 경우처럼 어떤 유한한 R까지 적분하려는 경우에는 참고하기 어렵네.. 어케야 하지 - dc App
일단 내 생각엔 부분분수로 나타내는 과정에서 t+복소수꼴이 나와서 실함수 적분이 아니게 됨(dt가 아니라 실은 복소함수 선적분이됨) 그래서 Ln 이용해서 적분 계산이 안되는거 아닐까 하는 생각임 Ln이 실함수 로그가 아니라 복소 로그가 되니까