[일반] □에서 bounded sequence 가 수렴하는 subsequence

[타이야끼(tyubeue3875)]

"□ 에서 bounded sequence 는 수렴하는 subsequence 를 가진다" 면

□에 들어가는게 완비성을 가지는 집합이면 다 성립하는거임?

Q 랑 R\Q 같은거에서 성립 안한단 건 알겠는데

(Q에선 부분수열이 루트2 같은 무리수로 수렴하게 만들고

R\Q에선 부분수열이 유리수로 수렴하게 한다면

각각의 수렴값이 Q 랑 R\Q 에 없으니 거짓 ← 맞지??)

[카카오(149.161)]

일단 "bounded" 라는 말이 성립되려면 metric space여야할거에요, complete metric space인 경우엔 참이에요

[타이야끼(tyubeue3875)]

아하.. 네 감사합니다

[익명(151.52)]

위에서 설명 잘해줬는데 좀 첨언하자면, 1.꼭 metric space 아니어도 topological vector space 에서 bounded 의 notion 은 정의가능 2.니가 말한 성질을 Heine Borel property 라고 하고, 모든 무한차원 Banach space 는 Heine-Borel 이 아님이 밝혀져있음.

[익명(151.52)]

3.무한차원 Frechet space 에서는 Heine Borel 인놈들도 있는데, 대표적으로 C^infty (요놈은 토폴로지가 매우 복잡함)

[타이야끼(tyubeue3875)]

거리공간도 아닌데 bounded 를 어떻게 정의하는거임??

[타이야끼(tyubeue3875)]

아 순서만 가지고도 만들 수 있겠구나.. 아무튼 더 찾아볼게 ㄱㅅㄱㅅ

[익명(151.52)]

ㅋㅋ이거 설명할려면 먼저 TVS의 정의부터 알아야함 궁금하면 스스로 알아보셈

[익명(151.52)]

ㅇㅇ 너무 길어져서 설명하기 뭐함 찾아보면 위키에도 엥간한 함수해석 책에도 다 나와있으니까 괜찮을꺼임 화팅

[타이야끼(tyubeue3875)]

conway 책 4절쯤에 막 나오는구나 근데 지금은 이것만 생각해도 뚝배기 깨져서 못보겠고.. 일단 기억해뒀다 나중에볼게 자세히 알려줘서 고마워