[일반] 완비성공리와 순서체를 만족하는 두 체의 전단사함수가

[익명(117.111)]

동형사상인 이유는 머임

김김계 1.2.7임

[겨울_(silhouet72)]

순서도 보존하고 연산 두 개도 다 보존하니까요

[익명(117.111)]

증명이라서 핵심 아이디어가 필요해요. 아리스토텔레스 성질이라던가 최소상계 이런거 이용하는 거요.

[겨울_(silhouet72)]

증명이 좀 길어서 핵심 아이디어라고 해도 딱 집어서 해줄 말이 없는데.. 일단 책에서 정의한 f가 두 체 사이의 유리수를 자연스럽게 보존한다는 건 쉽게 확인이 됨. 그리고 유리수의 조밀성을 쓰면 사실 모든 원소들이 자연스럽게 옮겨짐을 증명할 수 있다는 게 요점인데, 자세한 과정들이 꽤 지루해서..

[겨울_(silhouet72)]

일단 유리수를 f가 자연스레 옮기니 유리수에 대해서는 f가 원하는 성질(순서와 연산 보존)을 만족함은 분명함. 이제 순서가 보존된다는 걸 보이기 위해 x<y (in F)라 하면 x<r<s<y인 F의 유리수 r, s가 있음. 그러면 정의에 의해 f(x)=<f(r)이고 f(s)=<f(y)인데, 유리수에 대해선 순서가 보존되니 f(r)<f(s)가 되어서 증명 끝

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[익명(117.111)]

오빠 사랑해요

[겨울_(silhouet72)]

덧셈 곱셈 보존이랑 전단사 여부는 직접 해보셈 왠지 숙제인 느낌이 들어서 더 적어주면 안될거같음;; 곱셈은 일단 양수끼리의 곱이 보존됨을 먼저 보이고 덧셈의 역원이 보존됨을 이용해서 나머지를 보이는 게 좋을겁니다.