[일반] Translation 쉽게 이해하는 방법 없음?

[익명(121.167)]

Conservation Law 를 공부하는데, Baker-Hausdorff Theorem 이라는 요상한 개념이 튀어나오는데

이걸 안 쓰고 이해하는 방법이 없음?

Translation 이 왜 e^(-i x g) 꼴인지 잘 모르겠음

[익명(223.39)]

1d translations: 수직선 R^1 위의 additive lie group unitary representation of translation group: 대략 group에 의해 parametrized된 family of unitary matrices (group homonorphism G->U(n)

[익명(223.39)]

여기에 irreducibility 등의 제약조건을 부여한 뒤, 대응되는 lie algebra representation을 생각하면 가능한 representation은 n=1이고, 상수 g에 대해 x |-> exp -igx뿐이라는 사실이 나옴

[익명(223.39)]

n=1이면 U(1)=S^1 subset C이니, translation T(1)이 어떤 e^-ig에 대응된다면 T(x)은 (e^-ig)^x=e^-igx에 대응됨

[익명(223.39)]

(양자 관점에서) 결국 하고 싶은 건 연속적인 변환을 complex hilbert space 위의 노름을 보존하는 선형연산자로 표현하고 싶은 거고, 이때 표현 방법에는 generator g의 값에 따른 자유도가 생김. 좀 더 일반적으로는 {g_j}에 대해 {e^i g_j x}로 이루어진 diagonal matrix를 생각할 수 있음

[익명(223.39)]

나아가 g 자체를 연산자로 재해석할 수 있게 되는데, 이때 등장하는 게 Baker-Hausdorff thm