[일반] 대수 헬프미

[익명(210.57)]

R module M의 associated prime이 P밖에 없으면 임의의 P의 원소 r을 골랐을 때 r^n M=0이 되는 n이 있나? 될 것 같은데 증명이 잘 안되네

원래 문제는 A가 B의 submodule일 때 A가 primary한거랑 B/A가 associated prime이 P 하나뿐인거랑 동치인거 보이는거임

[익명(210.57)]

조건을 몇개 깜박했는데 R은 identity있고 commutative, Noetherian. B는 ACC만족함

[익명(175.223)]

M이 finitely generated면 정의에 의해 당연히 되고 finitely generated가 아니라면 아닐 수도 있지

[익명(118.235)]

M이 ACC 만족해서 finitely generated인건 맞는데 그럼 왜 정의로부터 바로 나오지??

[익명(175.223)]

어떤 x in M에 대해서 {1,r,r^2,...}가 annx와 안 만난다 하면 annx를 포함하고 {1,r,r^2,...}와 안 만나는 prime ideal Q가 있어서 그 Q 안에 unique associated ideal P가 들어가겠지 즉 r은 P에 안 들어감

[익명(118.235)]

Q가 P안에 속한다는게 좀 자명하지 않은 것 같은디... 근데 finitely generated에 초점맞추니까 어떻게 하면 될지 알것 같애. 앞문제에서 r이 모든 associated ideal에 속하면 각 x에 대해 r^(n(x))x=0이 되는 n(x)가 존재한다는 걸 너가 적어준거랑 비슷한방식으로 증명했었는데 생각해보니까 generator들에 대해서

[익명(118.235)]

n(x) maximal 잡아주면 되겠구나 x 선택이 무수히 많아서 잘 안될 줄 알았는데 여기서 finitely generated쓰면 잘되네 땡큐땡큐

[익명(175.223)]

아 거기서 막힌거였구나 ㅇㅋ