[대학교이상] 곱위상질문

[익명(14.46)]

저거 d가 metric인거하고 Tp를 X의 product topology, Td를 topology induced by d 라고 하면 Tp는 Td의 subset인건 보인상태임

근데 반대방향을 보이는곳에서 막혀버려서 힌트라도 주면 좋겠는데 좀 도와줄수있을까?

[ultraproduct(ultraproduct)]

지금 남은 건, Td의 원소들이 Tp의 원소임을 보이는 것. 이를 위해서는 B_d(p,r)이 (중심이 p이고 거리(d)가 r 미만인 open ball) Tp에 들어감을 보이면 충분. 저 공 안의 원소 x에 대해, d(x,p)=s라 하고 r-s=e>0이라 두자. 이제 sum_{k=m+1}^inf 1/2^k

[ultraproduct(ultraproduct)]

이 e/2보다 작게 되는 자연수 m을 하나 잡고, Un=B_d(n)(xn,e/2)를 n=1,...,m에 대해 생각. (x=(x1,x2,x3,...)). 이제 m+1부턴 Un=Xn으로 두고, prod_{n=1}^inf Un을 생각하면...

[익명(121.150)]

Bd(p,r)를 p를 포함하는 임의의 open set G in Td를 잡았을때 존재하는 p을 중심으로 갖는 open ball로 이해해도 되는거지? 그럼 그렇게 보였다면 prod Un이 p를 포함하는지 확인해야하는데 어떻게 보이는거지

[익명(121.150)]

아 아이피 바뀌었는데 저거 글쓴놈임

[ultraproduct(ultraproduct)]

prod Un이 p를 포함하는지 안하는지는 중요하지 않은데? 당장 익숙한 R^2에서 open ball이 정말로 open인 것을 보이는 과정을 생각해봐. 보여야 하는건 prod Un이 x를 포함하면서 B_d(p,r)에 들어간다는 것이지.

[ultraproduct(ultraproduct)]

그리고 임의의 open set G in Td를 생각할 이유가 있나? 물론 그런 G가 Tp에 들어가는 것을 보이는 것이 처음 목적이었는데, 어짜피 Tp가 topology니까, open ball에 대해서만 보이면 (arbitrary) union, 즉 원하는 집합 in Td 가 Tp에 있다고 말할 수 있지. 그러니까, G를 생각할 것도 없이 아무 open ball이라는 이야기야. open set에 대한 이야기를 할 때, basis의 원소들에 대해서만 보여도 되는가를 생각하는 것 또한 우리의 사고방식.

[ultraproduct(ultraproduct)]

subbasis를 공부했는지는 모르겠는데, subbasis에 대해서만 보여도 되는가를 생각하는 것 또한 널리 알려진 사고방식.

[익명(121.150)]

그것들은 이미 잘 알고있지 그냥 ㅈㄴ피곤해서 대가리가 안돌아가는거 같으니까 나중에 다시 볼게

[익명(165.229)]

자고일어나서 다시 보니까 이해가네 ㅋㅋㅋ 고마워!