선형대수학 요새 혼자 공부하고 있는데 직교행렬(orthogonal matrix) 파트에서 도저히 풀리지도 않고 구글에 검색해도 힌트조차 없는 문제가 있길래 여기에 도움 청해봐요 ㅠㅠ
대략 해석하자면 어떤 3x3 행렬이 있는데 그 행렬이 저 방정식을 만족하는지 보이래요. U는 상삼각행렬 이구요.
RRt=I 이용해서 풀어보려고 했는데, 아무리 풀어도 식만 너무 길어지고 풀리질 않네요..
선형대수학 요새 혼자 공부하고 있는데 직교행렬(orthogonal matrix) 파트에서 도저히 풀리지도 않고 구글에 검색해도 힌트조차 없는 문제가 있길래 여기에 도움 청해봐요 ㅠㅠ
대략 해석하자면 어떤 3x3 행렬이 있는데 그 행렬이 저 방정식을 만족하는지 보이래요. U는 상삼각행렬 이구요.
RRt=I 이용해서 풀어보려고 했는데, 아무리 풀어도 식만 너무 길어지고 풀리질 않네요..
진짜 거칠게 말하면 한 꼭짓점이 원점인 임의의 parallelogram(평면에서의 평행사변형을 n차원으로 일반화한 것)을 각 x축, y축, z축에 대해 회전시켜서 한 변은 x축 상에, 다른 한 변은 xy평면에 있도록 할 수 있다는 걸 보이라는 건데, 저 회전각이 셋 다 같게 할 수 있냐 마냐는 명백하지는 않은듯.
A의 열벡터를 a1, a2, a3라 하면 [a1 a2 a3]를 상삼각으로 만들 수 있냐는 걸 물어보는거고 축에 대한 회전변환 Rp, Ry, Rr이 적절하게 존재해서 Rr^(-1)Ry^(-1)Rp^(-1)a1 를 x축 위의 벡터로, Rr^(-1)Ry^(-1)Rp^(-1)a2 를 xy평면 위의 벡터로 만들 수 있냐를 물어보는 문제
직관적으로 생각해서 축별로 회전하는 각도를 다르게 주면 아무 문제 없이 가능한데, 그 각도가 항상 같게 가능하냐? 라고 하면 안될 것 같은데
안녕하세요~ 늦었지만 제 답변을 올리고자 합니다. 제 생각에 이 문제는 b(각도)가 같은 R로는 나올 수 없는 식인 것 같네요^^ 먼저 오른쪽 식의 변수가 6개인 반면, 왼쪽은 9개이기 때문입니다. 구체적으로는, U의 첫 번째 column (a,0,0)^t에서 시작해 A의 첫 번째 column을 구하면, (a cos^2(b), a sin(b), a cos(b)sin(b))^t가 되는데, 이는 임의의 column을 나타낼 수 없기 때문입니다. ex) (0,0,1)^t 위의 댓글처럼 R마다 다른 각도를 주게 되면 가능한 식입니다^^@