f가 단사라고 했으니까, 사실 f(C)가 B보다 작은건 당연한거지
근데 애초에 C라는 집합이 왜 A보다 작은지에 의문이 생겼던거
아래사진에 보기쉽게 그림이 있는데
f의 합성 횟수가 커질수록 점점 그 집합이 작아짐
근데 작아지다가 어느순간 공집합?이 된건지 멈춰버림
C 집합 표현에 첨수집합으로 표현한 합집합이 무한개를 합성하는건가? 아니면 딱 n번 합성한f까지만 합집합하는건가?
만일 유한이라면 합집합을 하다가 마는거니까 중간에 멈춘게 이해가 가는데 무한이라면 어떨지 조금 의아함
n번 합성한 f집합에서 n을 무한으로 보내면 그 집합은 공집합으로 수렴 한다고 봐야하나?
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정확히 궁금한 점이 뭐임? C가 A보다 작은건 당연한거고, 꼭 proper하게 작을 필요는 없음. 그리고 n을 무한으로 보내면 공집합으로 갈리가 없잖아 f가 단사인데
당연히 그림에는 무한히 많은 f^n들을 다 그릴 수가 없으니가 대충 점선으로 대체한거고, 증명을 이해하고 싶으면 그림을 보지 말고 글부터 봐
C가 A보다 작은걸 어떻게알지 - dc App
정의부터가 A의 부분집합들의 합집합인데
A 부분집합 한두개를 합잡합한다면 작다할수있어도 무한히 합집합하다보면 A랑 같아질수도 있는거 아닌가? - dc App
같을 수도 있음 ㅇㅇ proper하게 작을 필요는 없다고 말했잖아. 같아도 증명에 아무 문제 없음
비슷하게 for all i in N, Ci 는 A의 subset이면 for all x in Ui(Ci) (i in N), there exists i in N s.t. x in Ci = > x in A 이래 되니까 문제는 없지 각 f^n(A-B)들이 A의 subset이 되니까
C랑 A랑 같아질라면 아예 f함수가 전사였어야하는건가? 단사이기만 하면 새로 추가한 사진처럼 식 써보면 진부분집합일수밖에 없는데 - dc App
사진의 어디에서 진부분집합이라는 결론이 나오는거지
C=(A-B)Uf(C)이고 A가 되려면 f(C)가 B여야하는데 f는 전사가 아니니까 B보다 작음 그래서 A보다 작음 - dc App