문제 30번에서 주어진 조건은 다음과 같다.

(a) f는 실수 전체에서 미분가능하고 증가한다.

(b) f(1)=1이고 [1,2]에서 f의 적분값은 5/4

(c) 함수 f의 역함수를 g라 할때, 1 이상의 임의의 실수 x에 대해서 g(2x)=2f(x)를 만족한다.


문제 30번 : 서로소인 자연수 p,q가 존재하여 xf'(x)의 [1,8] 위에서의 적분값이 q/p일때, p+q의 값은?


먼저 g(2x)=2f(x)로부터, g(2)=2f(1)=2, g(4)=2f(2)=4, g(8)=2f(4)=8임을 얻는다 (따라서 f(2)=2, f(4)=4, f(8)=8).



논란의 핵심은, xf'(x)가 [1,8] 위에서 적분가능하다는걸 보장할수 없다는 부분에서 나왔다.

예를 들어서 f'가 [1,8] 위에서 연속이라면 적분가능하겠지만, 위의 조건 (a),(b),(c)은 그걸 보장해주지 않는다.


이 글에서는 xf'(x)는 [1,8] 위에서 르벡적분 가능하다는걸 설명할 것이고, 반대로 리만적분 가능하지 않은 예시가 있음을 보이려 한다.


정리. xf'(x)는 [1,8] 위에서 르벡적분 가능하다.


그전에 앞서서 다음의 Gauge 적분 (Henstock-Kurzweil 적분)에 대해서 알아보도록 한다.

Henstock–Kurzweil integral - Wikipedia


이 적분에 관한 성질들이 있는데, 눈여겨볼 성질들은 다음과 같다.

(1) 어떤 함수 f가 Lebesgue integrable한건 f와 절댓값 |f|가 둘다 Gauge integrable한것과 동치관계이다.

(2) 어떤 함수 f가 [a,b] 위의 모든 점에서 미분 가능하다면, f'는 Gauge integrable하고 f'의 [a,b] 위에서의 Gauge integral 값은 f(b)-f(a)이다.

(3) 어떤 함수 f가 [a,b] 위에서 Lebesgue integrable하면, 그것의 Lebesgue integral값과 Gauge integral값은 일치한다.


결론 :

따라서 [a,b] 위의 모든 점에서 미분가능한 증가함수 f에 대해서, (2)에 의해서 f'는 [a,b] 위에서 Gauge integrable하며 그 값은 f(b)-f(a)이다.

한편 f는 증가함수이므로, f'는 항상 양수이고 따라서 (1)에 의해서 f'는 [a,b] 위에서 Lebesgue integrable하다.

그리고 (3)에 의해서, f'의 [a,b] 위에서 Lebesgue integral 값은 Gauge integral 값인 f(b)-f(a)와 같다.


요약하면, 다음의 결론을 얻는다.


Lemma. 함수 f가 [a,b] 위의 모든 점에서 미분가능하고 증가함수일때, f'는 [a,b] 위에서 Lebesgue integrable하고, 임의의 [a,b] 위의 점 x에 대해서,

f(b)-f(a) = (a에서 b까지 f'의 르벡적분값) 을 만족한다.


이제 본 문제 30번으로 돌아가서, f의 역함수 g의 원시함수가 G라 할때, xf'(x) = g(f(x)) f'(x) = (G.f)'(x)임을 염두에 두자 (G.f는 G와 f의 합성함수이다).

f와 g 둘다 [1,8] 위에서 미분가능한 증가함수이므로 G 또한 증가함수이고, 따라서 G.f 또한 미분가능한 증가함수이다.

따라서 Lemma에 의해서,

xf'(x)의 [1,8] 위에서의 르벡적분값 = (G.f)'(x)의 [1,8] 위에서의 르벡적분값 = G(f(8)) - G(f(1)) = G(8) - G(1)을 얻는다. (f(1)=1, f(8)=8이므로)


결국 르벡적분의 관점에서 보면, xf'(x)는 [1,8] 위에서 르벡적분 가능하다.


Remark. RCA 책의 Theorem 7.21은 위의 Gauge 적분의 성질인 (1),(2),(3)으로부터 바로 얻을수 있는 결과다.



그렇다면, 리만적분의 관점에서 봤을때에는 xf'(x)가 항상 리만적분 가능할까?

답은 NO다. 아래의 construction으로부터, [1,8] 위에서 xf'(x)가 리만적분 불가능한 문제의 조건을 만족하는 f를 설계해줄수 있다.

여기는 테크니컬한 부분들이 많아서 디테일은 좀 생략한다.


정리. 문제 30번을 만족하는 f 중에서 xf'(x)가 [1,8] 위에서 리만적분 가능하지 않은 예시가 존재한다.


위키피디아 페이지에서 정의된 아래 함수에 대해서 먼저 알아보자.

Pompeiu derivative - Wikipedia

a_0,a_1,...을 잘 세팅하면, 위 함수는 [0,1]에서 [0,1] 위로 가는 미분가능한 강증가함수다. 이 함수의 역함수를 h라 하자.

그렇다면 [0,1] 위에서 정의된 함수 h는 다음의 성질을 만족한다.


(1) h(0)=0, h(1)=1.

(2) h는 [0,1] 위의 모든 점에서 미분가능하며, 강증가함수이다.

(3) 임의의 [0,1] 위의 유리수점 c에 대해서, h'(c)=0이다.


따라서 h'는 리만적분 불가능하다. 이유는 다음과 같다.

만약 h'가 [0,1] 위에서 리만적분 가능하면 평균값 정리와 리만적분의 정의를 이용해서 h'의 [0,1] 위에서의 적분값이 h(1)-h(0)과 같다는걸 보일수 있는데, h(1)-h(0)=1이지만 h'는 유리수점에서 항상 0이므로 h'의 [0,1] 위에서 리만적분값은 0이 되므로 모순.

따라서 h'의 [0,1] 위에서의 불연속점들의 집합은 measure zero가 아니다.


이제 적당한 a>0과 u'(1)=u'(2)=1을 만족하는 [1,2] 위에서 정의된 적당한 미분가능한 강증가함수 u를 잡아줄수 있어서, q(x) = ah(x-1) + u(x)로 두었을때,

(1) [1,2] 위에서 q'(x)>0을 만족하고 q'(1) = q'(2) = 1

(2) q'의 불연속점의 집합은 measure zero가 아니다. (i.e., q'는 [1,2] 위에서 리만적분 불가능)

(3) [1,2] 위에서의 q(x)의 적분값 = 5/4

(4) q(1)=1, q(2)=2


가 되도록 할수 있다. 그렇다면 h'가 [0,1] 위에서 리만적분 불가능하므로, q' 또한 [1,2] 위에서 리만적분 불가능하다.


이제 [1,2] 위에서 f(x)=q(x)로 두자. 그리고 g(2x)=f(x)을 이용해서 [2,4] 위에서 g가 정의되므로, f 또한 [2,4] 위에서 정의된다.

마찬가지로 똑같이 g(2x)=f(x)를 다시 이용해주면 [4,8] 위에서 g가 정의되므로, f 또한 [4,8] 위에서 정의된다.

q는 [1,2] 위에서 미분계수가 항상 0보다 크기 때문에, f와 역함수 g 둘다 (2,4), (4,8] 위에서 미분가능하게 된다.

다만 이렇게 오려붙이면 경계점인 x=2,4에서 f의 도함수가 잘 정의되는지 함부로 단정지을수 없는데, q'(1)=q'(2)=1 조건으로부터 경계점 x=2,4에서도 f의 도함수가 잘 정의된다는걸 확인할수 있다.


이제 이 함수 f는 문제 30번의 조건을 모두 만족한다. 한편 xf'(x) = g(f(x)) f'(x)을 만족하는데, q'의 불연속점의 집합이 [1,2] 위에서 measure zero가 아니라는 점으로부터 f'의 불연속점의 집합 또한 [1,8] 위에서 measure zero가 아니라는 사실을 얻고, g(f(x))는 [1,8] 위에서 연속이므로 g(f(x)) f'(x) = xf'(x)의 [1,8] 위에서의 불연속점의 집합은 f'의 [1,8] 위에서 불연속점들의 집합과 일치하고, measure zero가 아니다.

따라서 xf'(x)는 [1,8] 위에서 리만적분 불가능.