[대학교이상] 분해체와 기약다항식 관계에대해 궁금한 점이 있어요.

[익명(125.130)]

수업 중에

K가 Q위로의 유한확대체라고 하자.

ⓐ Q≤K가 어떤 다항식 f(x)의 Q위로의 분해체이면

ⓑ Q[x]의 임의의 기약다항식 p(x)에 대하여 K[x]에서의 p(x)의 기약인자는 모두 같은 차수

가 성립한다고 했는데 증명을 어케 해야하는건지 너무 막막합니다...

심지어 ⓐⓑ가 서로 동치라고 하시고 수업을 끝내셨는데 다들 멘붕이네염

[ultraproduct(ultraproduct)]

(->) Isomorphism Extension Theorem, splitting field 정의. (근을 가진다면? 아니라면?) (<-) 이건, α in E에 대해 irr(α,F)가 split 됨을 함축. 따라서 splitting field.

[익명(77.103)]

(b)에서 (a)로 가는 방향은 자명하니 (a)에서 (b)로 가는 방향을 좀더 자세하게 적으면, L를 K를 포함하는 p의 splitting field라고 하고, p가 K[x] 위에서 기약다항식 p_1p_2...p_k로 쪼개질때, p_1의 아무 근을 a∈L, p_2의 아무 근을 b∈L라 하면, p는 Q 위에서 기약다항식이니 Q를 고정하는 isomorphism h : Q(a) -> Q(b)가 존재함. 이제 L은 p에 대한 Q(a)와 Q(b)를 둘다 포함하는 분해체니, 윗분이 언급한 isomorphism extension thm에 의해서 h를 확장하는 isomorphism h' : L -> L이 존재함.

[익명(77.103)]

이제 K가 Q의 분해체라는 사실로부터 (정확히 말하면, 임의의 Q의 기약다항식 g에 대해서 g의 근 중 하나가 K의 원소라면 g의 모든 근이 K의 원소라는 사실을 비슷하게 isomorphism extension thm으로부터 보일수 있고, 이 사실을 이용하면), h'는 Q를 고정하므로 h'(K)=K라는 결론을 얻음. 이제 p_1은 K 위에서 a의 minimal polynomial이고, h'(p_1)은 K 위에서 h'(a)=b의 minimal polynomial이므로, h'(p_1)=p_2가 되어야함 (그리고 당연히 여기서 deg(p_1)=deg(p_2)를 얻음).

[익명(77.103)]

위 댓글에서 h를 언급할때 h(a)=b가 된다는걸 빼먹었네. 그리고 위 댓글의 괄호쳐진 부분, 임의의 Q의 기약다항식 g에 대해서 g의 근 중 하나 a가 K의 원소라면 g의 모든 근이 K의 원소라는 사실을 보이려면, g의 임의의 근을 b라 할때, 먼저 Q 위에서 g는 기약이므로 Q를 고정하는 isomorphism q : Q(a) -> Q(b)가 존재하여 q(a)=b를 만족함. 이제 K가 Q의 분해체이므로 어떤 Q 위의 다항식 h에 대한 분해체가 되는데, 마찬가지로 K(a)와 K(b)는 각각 Q(a)와 Q(b) 위에서 h에 대한 분해체가 됨. 따라서 isomorphism extension theorem에 의해서, q를 확장하는 isomorphism q' : K(a) -> K(b)가 존재함.

[익명(77.103)]

한편 a는 K의 원소이므로 K(a)=K가 되고, 따라서 [K:Q]=[K(a):Q]=[K(b):Q]=[K(b):K][K:Q]이므로 [K(b):K]=1이 되어서 K(b)=K이므로 b도 K의 원소라는 결론을 얻고, 따라서 g의 모든 근은 K의 원소. 아마 이건 dummit책의 연습문제였던걸로 기억함.