[일반] euler characteristic 보존 질문

[hentaiM..(nsa15464)]

euler characteristic이 homeomorphism에 의해 보존됨은 알고 있는데 이건 증명 못할것 같고 조건을 훨씬 강하게 잡아서

두 compact surfaces X, Y in R^3가 diffeomorphic 하면

euler characteristic이 서로 같음을 증명하고 싶음

가우스 보네 정리는 알고 있는데 이걸 활용해서 증명할 수 있는지 모르겠음.. 아니면 다른 방법으로 증명해야 하나

[lp(yyi050324)]

Euler charactersitic을 어케 정의한거임? homology의 rank의 alternative sum으로 정의하면 거의 자명할텐데

[hentaiMATH_Play(nsa15464)]

아 맞아 정의를 언급 안했네 근데 정의가 엄청 느슨해서 나도 이걸 증명할때 어떻게 다뤄야할지 모르겠음.. euler characteristic X = V - E + F V = 꼭지점 개수, E = 모서리 개수, F = 면 개수 V, E, F는 surface에 triangulation 줘서 생각하는걸로 배움.

[hentaiMATH_Play(nsa15464)]

euler characteristic 이 triangulation에 independent임은 수업에서 증명없이 그냥 받아들였음.

[lp(yyi050324)]

그걸 그냥 받아들였으면 homeomorphism에 보존인것도 받아들여야되지 않을까 싶긴 한데 Gauss Bonet를 manifold without boundary에 대해 생각하면 그냥 되지 않을까

[hentaiMATH_Play(nsa15464)]

음.. 가우스보네 들어와서 갑자기 증명이 엄청 직관적이게 되어서 좀 혼란스럽다 ㅋㅋ 미기가 뭐 항상 그렇지만 감잡기 더 힘들어진 느낌이야 좀더 봐야겠다

[lp(yyi050324)]

아 isometry면 되는데 일반적인 diffeomorphism이면 좀 그렇긴 하네 ㅇㅇ Chern-Gauss-Bonnet 생각하면 그냥 diffeomorphism일때 그냥 되긴 할듯

[익명(110.70)]

diffeo가 바운더리를 바운더리로 보내는걸로 아는데 삼각분할된 선들이 고대로 붙을테니 같지 않을까

[hentaiMATH_Play(nsa15464)]

그렇네 이렇게 생각할 수 있겠다