[일반] pi의 소수점 아래에서 임의의 자연수를 찾을 수 있을까

[익명(223.33)]

pi = 3.1415926535... 로 규칙없이 소수점이 전개 된다고 들었는데, 그러면 소수점 아래에서 아무 자연수나 찾을 수 있지 않을까. 예를 들어 489라는 자연수를 생각했는데, pi를 쭉 전개하다보면 4, 8, 9가 연속으로 나오는거지.

소수점 아래에 규칙이없는 무리수들은 다 이런 성질을 가질까하는 생각도 든다.

이런 추측은 해도 pi에 규칙성이 없으니까 증명은 못 할 거 같다.

[익명파티(whatismyid)]

1 2로만 이루어진 무리수도 있으니까 명제자체는 거짓인데 비슷한 논리로 [0,1]에서 한번도 나타나지 않는 자연수가 있는 실수들의 집합은 measure 0이다는 건 참이야

[익명파티(whatismyid)]

이거 관련해서 예전에 하디책 an introduction of theory of numbers에서 거의 모든 실수에 대해 어떤 k자리수 자연수 N을 골라도 그게 나오는 빈도가 1/10^k로 수렴한다 대충 이런걸 증명 해줬던 것 같애

[익명(203.226)]

measure가 0이라고? ㅋㅋ 생각보다 대부분의 무리수가 저런 성질이 있구나. 뻘글인줄 알았는데 이런 거도 이미 연구되어 있는 거 신기하네.

[익명(77.103)]

익명파티가 언급한 결과는 에르고딕 이론을 배우면 거의 제일 먼저 배우는 정리가 pointwise ergodic theorem인데, 그걸 R/Z 위에서 x를 10x로 보내는 map에 적용하면 증명할수 있음. 여기서 10을 원하는 base (예를 들어서 2진법) 로 바꿔도 성립하고. 하지만 그런 수들이 R 위에서 almost everywhere하다는거지 원주율같은 특정 무리수가 그런 성질을 보유하는지는 보장할수 없고, 실제로 원주율의 경우 open임.

[익명(39.7)]

normal number