[중고딩문제] 미적분 30번에서

[익명(106.101)]

다들 xf'이 리만적분 불가능인 예가 있다는 것은 보여주었는데

그러면 궁금한게  

1. 30번의 주어진 조건을 만족하는 f'은 항상 리만적분가능한거야?

2. 30번의 주어진 조건을 만족하는 f' 중에서 불연속인 예 중에 가장 쉬운건 무엇이 있을까?

[익명(77.103)]

1. [1,8] 위에서 xf'와 f'의 유계여부는 같고 xf'와 f'의 불연속점의 집합은 일치함. 따라서 xf'가 [1,8] 위에서 리만적분 불가능하면 똑같이 f'도 리만적분 불가능함.

[익명(106.101)]

고마워요! 그런데 xf'와 f'의 불연속점의 집합의 측도가 같은 거에요? 아니면 집합이 완전히 일치하는거에요? 만약 집합이 일치하는 거라면 왜 그런건지 설명해줄 수 있나요?ㅜㅜ

[익명(77.103)]

두 함수 f_1, f_2에 대해서 f_1(x)가 x=c에서 연속이고 f_2(x)도 x=c에서 연속이면 f_1(x)f_2(x)도 x=c에서 연속이잖아요? 따라서 만약 xf'(x)가 x=c에서 불연속인데 f'(x)가 x=c에서 연속이면 모순이 되니까, f'(x)도 x=c에서 불연속이 되어야하고요. 마찬가지로 f'(x)가 x=c에서 불연속인데 xf'(x)가 x=c에서 연속이면, 1/x의 연속성으로부터 모순이 되니, xf'(x)도 x=c에서 불연속이 되어야죠. 따라서 f'과 xf'의 불연속점의 집합은 일치해야 합니다.

[익명(77.103)]

2. 그냥 f'를 한점에서 불연속으로 만드는건 그냥 x^2 sin (1/x)을 적당히 이용하면 되니 어렵지 않음.

[익명(106.101)]

x^2 sin (1/x)을 이용하면 30번의 전제조건을 전부 만족하면서도 불연속인 f'을 만들 수 있다는 말이죠?

[익명(77.103)]

네. 함수 h(x)=x^2 sin(1/x) (x≠0), 0 (x=0)는 x=0에서 미분값이 0인데 x 근방에서는 미분계수가 -2와 2 사이에서 진동합니다. 따라서 h를 적당한 상수 곱하고 평행이동하고, 여기에 적당한 smooth한 증가함수 더해줘서 만들어진 함수 f가 [1,2]에서 증가하고 f'(1)=f'(2)가 되고, 문제에서 주어진 조건을 만족하도록 할 수 있죠.