어떤 조건을 만족하는 점의 자취는 주로 도형이나 곡선을 이루는데 이를 해석하기위해서 이러한 점의 자취를 좌표평면위에 잘 올려놓았을때 조건을 만족하는 점의 자취는 실수 순서쌍에 대응됩니다.이때 조건을 만족하는 임의의 점에 대응되는 순서쌍 (x,y)의관계가f(x,y)=0이라고할때 조건을 만족하는 모든 점에 대응되는 각 순서쌍을 이식에 대입했을때 이관계를 만족한다는 것을 뜻하므로 f(x,y)=0은 조건을 만족하는 점에 대응되는 순서쌍이 해집합으로서 만족하는 방정식이 됩니다.이때 이 방정식이 자취의방정식,도형의방정식이라고 불리우는 이유는 f(x,y)=0을 만족하는 해집합인 순서쌍들을 좌표평면의 점에 대응시켜서 나타날때 위의 그 어떤조건을 만족하는 점들에 대응됨으로써 이 방정식이 위의조건을 만족하는 점의 자취,도형을 좌표평면에 그림으로서 도형의방정식 자취의 방정식이라고 불리는데요...

적어도 전 이렇게 배웠습니다 근데 여기서 문제점이 조건을 만족하는 점들에 대응되는 순서쌍은 f(x,y)=0이란 방정식을 만족합니다. 근데 이것의 역 f(x,y)=0을 만족하는 모든해집합의 순서쌍들이 이 조건을 만족하는 점들에 대응되는 순서쌍과 일대일대응관계라고 항상 말할 수 있나요?

예를 한번 들어보겠습니다. 한정점으로부터 거리가 일정한 점의 자취는 '원'이라고 불리우는 도형을 만듭니다.

이제 이것을 좌표평면위에 한정점이 원점에 대응되게 일정한 거리값은 r 이라고 한채 좌표평면위에 이 자취(도형)을 올려놓으면 이 정점으로부터 거리가 r로 일정한 임의의점에 대응 되는 순서쌍(x,y)은 x제곱+y제곱=r제곱이란 관계를 만족합니다.이것은 조건을 만족하는 모든점에 대응되는 순서쌍이 이 관계식에 대입했을때 이 관계식을 만족함을 뜻하므로 이식은 곧 조건을 만족하는 점들의 순서쌍이 해집합으로서 만족하는 방정식이 됩니다.

근데 이제 역으로 생각해보는겁니다. 이 방정식이 떵그러니 주어졌을때 이방정식을 만족하는 해집합인 순서쌍을 좌표평면위에 점으로서 나타내는겁니다.이때 아무런의심없이 이방정식을 만족하는해집합인순서쌍은 저 위의조건을 만족하는 점에 대응되는 순서쌍이니까 좌표평면에 '빈틈없는'원인 점의자취가 그려지겠지.. 하고 그립니다. 근데 여기서 제가 궁금한건 이 방정식이 먼저 주어졌을 때 이방정식을 만족하는 해집합인 순서쌍중에 저 위의조건을 만족하는 점에 대응되는 순서쌍이 '아주많이'포함되어있는건 맞는데 빠짐없이 이방정식의 해집합인 순서쌍이 위의조건을 만족하는 점에 대응되는 순서쌍인건 보장할 수없기때문에 좌표평면에 그림으로서 나타내질때 '빈틈없는'원이 아니라 실제로는 '빈틈없는것처럼보이는'원이 그려지는거 아닌가요? 하지만 대충 이 방정식을 그래프로 나타냈을때 실제로 일치율이 오차가 거의없는 점의자취 도형을 그리기에 이방정식을 도형의방정식 자취의 방정식이라고 불리는거 아닌가요....

써놓고보니까 무슨 정신병걸린 사람이 쓴글처럼 느껴지는데 제가 머리속을 위에서 훤히바라보고 제가 뭘모르는지 정확히 알게해줄 의사선생님이 한분이라고 이글을 읽기를 바라면서 올려봅니다...