[일반] 고등학교 문제 호소인

[익명(110.15)]

sum arctan(2/n^2) = 3π/4을 알아야 풀 수 있는데 논술 문제라고 끼워맞추기에도 좀 어려울 듯

[익명(77.103)]

그건 삼각함수 합차공식으로부터 arctan(a) - arctan(b) = arctan ( (a-b)/(1+ab) )로부터 a=n+1, b=n-1을 대입하면 arctan(2/n^2) = arctan(n+1) - arctan(n-1)을 얻으니까.. arctan(2/1^2) + ... + arctan(2/n^2) = arctan(n+1) + arctan(n) - arctan(1)을 얻고, n을 무한대로 보내면 좌변은 arctan(2/n^2)의 합, 우변은 2arctan(무한)-arctan(1) = 3pi/4가 나옴.

[익명(110.15)]

그렇네요 ㅆㅅㅌㅊ

[익명(110.15)]

좀 역겹긴 하네요

[익명(110.15)]

그걸 제시문으로 주면 어케든 해결은 할 수 있을 듯? 어차피 합차 공식 다 제시문 주고 풀라고 하긴 하니까

[익명(77.103)]

원래 이런식의 극한 구하는 문제를 각도구하는 문제로 변형하고 삼각함수 합차공식 적당히 이용하는게 논술문제에서 전형적인 스타일이라서.. 수능식 객관식 문제로 묻기에는 그냥 극한 존재한다고 가정하고 찍어맞추면 되니 문제가 많고, 풀이과정을 묻는 논술문제로 적합한것 같음.

[익명(110.15)]

극한 존재한다고 가정해도 안 나오지 않음?

[익명(110.15)]

아니 진짜 개어이없네 저딴 걸 왜 머릿속에 쳐집어넣고 다님?

[익명(77.103)]

생각해보니 그냥 극한 존재한다고 가정하고 풀수가 없네. 그리고 당연히 저런걸 머릿속에 집어넣고 다닐 이유는 없고, 보통 고교과정에서는 저런식의 합을 묻는 문제가 나오면 적당히 telescoping하게 만드려고 시도할테니까.

[익명(77.103)]

그래서 telescoping series로 만들때 가장 먼저 시도하는건 arctan(2/n^2)을 적당히 2개의 항 arctan(a) - arctan(b)으로 쪼개는건데, 이게 arctan( (a-b) / (1+ab) )가 되니 저 arctan 내의 분모의 1을 날리기 위해서 a=kn+1, b=kn-1 꼴로 만드는게 적합하다고 생각할 것이고, 그러면 arctan (2/(k^2n^2))을 얻게되니 k=1을 고르는게 가장 자연스러울 것임.

[익명(110.15)]

생각보다 정형화된 발상인가 보네요

[익명(110.15)]

수학이랑 무관한 전공인데 괜히 제 전공에 애착이 더 생기는 계기가 됨 ㄱㅅ

[익명(77.103)]

그냥 고교과정에서는 저런 합이 나오면 일단 해볼수 있는게 어떻게든 리만합으로 바꿔서 적분하거나 저 합의 각 term을 쪼개서 telescoping series로 만들어서 잘 소거하는거 말고는 없는데, 겉보기에 리만합으로 바꾸긴 어려워보이니 telescoping series로 만들어서 소거하자는 생각을 하게 되겠지 보통.. 10년이 넘은 이야기긴 하지만 대입 논술고사 대비할때 대치동 소재의 모 학원을 다녔었는데, 저런 유형의 문제들도 종종 풀었고 저런거 2문제정도 주고 푸는데 15분 정도의 시간을 줬었음. 대부분 수강생은 과고생이었고, 학생들이 생각보다 잘 풀더라. 아마 저런 문제는 일본 대입 논술고사 수록집 같은데서 볼수 있는 유형인듯함.

[익명(77.103)]

어차피 수학연구할때 자잘한 lemma 빨리 증명하는데 있어서 얼마나 기교를 잘 쓰느냐도 영향을 주긴 하는데, 대학입시처럼 시간제한이 걸린것도 아니고 더 중요한건 main theorem을 증명하는데 있어서 얼마나 러프한 아이디어의 큰 그림을 잘 구상해내는 것이라고 생각하고, 그래서 고등학생들이 수학의 너무 기교적인 부분에 골몰하지 않았으면 함. 저딴거 잘하지 못해도 얼마든지 연구 잘할수 있으니. 수능이든 대입 논술고사든 너무 수학의 기교적인 측면만 강조한다는 부분에서 문제가 있다고 생각해.

[익명(58.122)]

고등학생이 zn을 잡을수있음?

[익명(77.103)]

복소수로 안보고 (a_n , b_n)을 R^2위의 점으로 보고, 저 수열의 점화식은 적당한 행렬로 간주하면 됨. 물론 현재 교육과정에서는 행렬을 배우지 않으니 무리가 있겠지만. 문제에서 저 점화식을 행렬로 표현하면 (n^2 -2 // 2 n^2) 꼴의 2x2 행렬로 적당히 상수배만큼 늘리고 특정 각도만큼 회전하는 회전변환이 되는데다가 b_n/a_n 비를 물어보니, 아예 이런식으로 푸는걸 작정하고 문제를 냈다고 생각함.

[익명(77.103)]

복소수나 행렬을 거치지 않고 바로 푸는 방법은 c_n = b_n/a_n으로 잡으면 저 점화식으로부터 c_{n+1} = (2/n^2 + c_n) / (1 - 2/n^2 * c_n) 식을 얻는데, 탄젠트함수에 대한 삼각함수 공식을 염두에 두면, c_n = tan(d_n)이라 할때 tan(d_{n+1}) = (2/n^2 + c_n) / (1 - 2/n^2 * c_n) = tan( arctan(2/n^2) + d_n )을 얻으니까 d_{n+1} = arctan(2/1^2) + arctan(2/2^2) + ... + arctan(2/n^2)라는 식을 얻고, 위의 논의에서 d_n은 3pi/4로 수렴하니까 c_n은 -1로 수렴. 생각해보니 고일대로 고인 요즘 수능에 내도 되겠네.