어렵다면 어려운내용임
1.
f:A->R 이고 a∈A' 이고 x->a 일때 f(x)->L∈R
또 A⊆B에 대해서 g:B->R을 다음과같이 정의함
a∈B'이고 x∈A일때 g(x)=f(x)
그렇다면 이때 x->a 일때 g(x)->L일 필요충분조건은 무엇인가??
2.
제가 위상수학을 아직 제대로 안배워서 질문이 적절할지 모르겠음.
디리클레와같은 함수를 보고 생각난건데
실수가 정의역이고 무리수인점에서 0으로 정의한 함수들중에 연속인함수는 유일하겠는가임
구간인 정의역에서 점을 파바박 조밀(?)하게 찍었을때 정의역에서 연속이되는 함수가 유일하겠는가가 질문
해석학밖에 공부를안해봐서 2는 위상수학을 공부해야 알거같기도합니다.
그런데 1은 의미가있어요.
예를들어 미적분학시간에 sinx/x를 그림으로 대충 (-pi/2, pi/2)-{0}에서 cos x < sinx/x < 1/cosx 인거 대충 그림으로 보이고
cosx가 0으로갈때 1로감을 가정해서 조임정리로 x->0 이면 sinx/x가 1임을 보이잖아요.
그런데 가면갈수록 구렁이담넘어가듯 모든 책들이 이걸 대충 R-{0}인 함수 f=sinx/x의 0에서의 극한이 1이라고 떼우더군요.
엄밀하게말해서 위에서 얼렁뚱땅 증명한 함수는 정의역이 달라서 아래함수와 다른데도 말이에요.
사실 수갤에 물어보고알았지만 정의역이 유리수인 f=1 상수함수를 생각했을때 임의의 실수는 Q'의 원소가되고 x->a 일때 f->1임은 자명합니다
그렇지만 이 함수를 디리클레함수로 확장해버리면 극한이 존재하질않아요!
이렇게 중요한 성질을 증명안하고 얼렁뚱땅 넘기는게 너무 화가납니다.
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자꾸 말로 길게 풀어서 너가 궁금한걸 설명하려하지말고 좀 수학적으로 제대로 간결하게 써서 물어봐. 해석학을 공부했으면 그 정도는 할 수 있잖아. 지금 1도 그렇고 2도 그렇고 표현이 너무 모호한게 많아서 뭘 답을 원하고 정확히 뭐가 궁금한건지도 모르겠음. 2에서 sin/x얘기하다가 뜬금없이 왜 디리클레 함수로 확장을 하니마니 하는것도 그렇고
2는 모호한거인정. 1은 제대로 써놨는데요?
저 조건이 어떻게 g를 정의하냐 A에서만 정의되어있는데. a를 고정시켜놓고 생각하는거냐 첫중 조건을 만족하는 모든 a에 대해서 지금 생각하는거냐. 마지막 필요충분조건이라는게 f는 고정이고 g가 사실 특정조건을 만족하는 함수들의 집합의 원소인데 마지막 조건을 만족하는 g가 가지는 특징을 묻는거냐 아님 두번째 줄 g가 이미 하나로 정해져있고 f가 만족할 조건을
묻는거냐 등등 하도 개떡같이 써놔서 읽는사람이 알아서 해석해야하는 상황인데 진심 저걸 제대로 써놨다고 생각하냐
지금 너의 생각을 수학적으로 표현하는게 아직 많이 서투른것 같아서 저것만봐서는 너가 묻고자하는게 정확히 뭔지 알아먹을수가 없다
1에서 a는 고정된 A의 집적점이고 g(x)는 A에 속하는 x에 대해서는 g(x)=f(x)로 놓고 나머지 A에 안속하는점에 대해서는 "적당히" 정의를 함. 이랬을때 x->a 일때 g(x)->L가 되도록하는 조건을 찾고, 또 이 조건에서 g(x)->L이되도록 하는 즉 필요충분조건을 찾으라는게 의도. 2는 내가 아직 조밀성에대한 이해가 안되어있어서(안배움) 조건을 수정함. 어떤 구간 I가 있을때 구간상의 유리수점에대해서만 정의를한 f라는 함수가있음. 이때 무리수점들에 대해서 "적당히" 확장해서 g를 정의함(즉 유리수점에 대해서는 g(x)=f(x)) 이때 g는 아직정해지않은 임의의함수임. 그러면 이 무수히 많은 g들중에서 정의역인 구간 I에서 연속이되도록하는 g가 항상존재하고 유일하냐는게 내 질문
예컨대 유리수일때 f=x라고 하고 실수범위에서 연속이 되도록하는 g는 ( g:R->R 단 x가 유리수이면 g(x)=f(x)=x ) 유일하게 존재하냐는게 질문 당연히 그건 g=x가 될테고. 그런데 이렇게 명확한사례말고 다른사례에 대해서도 항상 존재하냐는게 질문
1번은 결국 g가 아직 정의 안된 나머지 점들에 대해서도 마찬가지로 g가 a에서 연속인 조건을 만족해야한다 정도밖에 답이 안나올 것 같은데? g에 대한 아무 제약이 없을때랑 A에서 g=f인건 별 차이가 없어. 2번은 유일해 루딘책에 연습문제로도 나옴.
다만 존재성은 보장안되는게, R-{0}에서 1/x는 연속이지만 R에서 연속인 확장은 없고 정의역이 조밀함.
오 정말고마움.. 1번에 대한 완벽한답은 안됬지만 2번은 완벽히 답이됬어. 존재성은 보장이안되는 반례가있고 존재성이보장되면 유일하구나 그런데 2에서 또 f를 유계함수로 설정해놓고 g를확장하는거면 존재성도 보장이될거같음. 1번도 사실 그 함수에대한 조임정리로부터 의문이 생긴거라서 이쯤하면된거같음 정말 감사!
댓글에 달린 수정된 질문에 대해 답하자면 2. f가 이상하게 생겼으면 정의역을 실수로 어떻게 확장하든간에 그런 모든 g가 불연속인 경우가 있을 것 그런데 f가 잘 생겨서 정의역을 실수로 확장시켰을 때 연속함수인 g가 존재한다면, 그런 g는 유일함
무리수 k에 대해서 k로 수렴하는 유리수 수열 x_n을 가져오면 g(k) = lim(n to infty) g(x_n) (since g가 연속) = lim(n to infty) f(x_n) 이어야 하므로 g(k) 값은 유리수 수열 f(x_n)의 극한과 같아야만 함 모든 무리수 k에 대해서 k로 수열하는 유리수 수열은 항상 찾을 수 있음
감사감사