수업 들으면서 증명 정리해봤는데...
근데 좀 이상한게 갑자기 b가 다른 원시근이라고 가정하고 증명을 진행하는데
이에 앞서 '원시근이 하나 존재하고 이 원시근이랑 다른 원시근이 또 존재할 수 있다' 이게 증명이 안됐지 않음?
그러니까 위 증명을 보면 원시근 a가 하나 있고. 그 a랑 다른 원시근이 하나 '있다면' 으로 증명을 진행하는데
증명하려는 전체 명제는 원시근이 하나라도 존재한다면 총 원시근 개수는 phi(phi(n))개라는 거잖아
그럼 증명과정에서 b의 존재성을 바로 못말하지 않나?
a와 다른 원시근 b가 존재한다는 걸 가정하는게 아니라 'b가 n의 원시근이라하자' 정도가 증명에서 말하고싶은것. 실제로 그 아래아래 줄 보면 a=b의 가능성도 냅두고 있잖아.
한가지 더 궁금한게 b가 원시근 → b≡a^k (mod n) for some k → gcd(k,phi(n))=1 → 이러한 k는 phi(phi(n))개 이런 식으로 증명이 진행되는데 그러니까 즉 b가 원시근이면 b≡a^k (mod n)인데 이때 k로 가능한 경우의 수가 phi(phi(n))개라는 거지 phi(phi(n))개의 k가 모두 a^k가 원시근이도록 만족한다고는 안하지 않았음? 아님 여기서 b≡a^k (mod n) for some k랑 gcd(k,phi(n))=1 이 두개가 iff 관계인가?
예압. 증명 두번째문단 4~5번째줄이 두개가 필요충분상태임을 함의하고있어
아하 글쿠나 이제 이해감 ㄱㅅㄱㅅ
은 일반적으로 곱셈에 대하여 역원이 없잖아. Z_n의 부분집합 중 곱셈 역원이 존재하는 것들만 모은게 위수는 phi(n) 그런데 이 곱셈군이 순환군일 때가 있고 아닐 때가 있어. 만약 순환군이라고 가정하면 와 동형이겠지 m=phi(n) 그럼 생성원들을 모은 집합의 위수는 phi(phi(n))일거 아냐