[일반] 정수론??질문

[익명(118.235)]

a^2b^2-4a-4b가 제곱수가 되게 하는 자연수쌍 (a,b)은 무한히 많나요??

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[익명(77.103)]

결론을 말하자면 유한할수밖에 없음. 식에서 a와 b는 대칭이니 편의상 b가 a 이상이라고 가정해도 됨. 먼저 (ab-1)^2 < a^2b^2 - 4a - 4b < (ab)^2를 만족하면 제곱수가 될수 없으니, 제곱수가 되려면 (ab-1)^2 >= a^2b^2 - 4a - 4b, 즉 2ab-1 <= 4a+4b를 만족해야 함.

[익명(77.103)]

먼저 2ab-1 <= 4a+4b로부터 2b(a-2) - 1 <= 4a를 얻음. 만약 a >= 5라면 a-2 >= 3a/5이므로 2b(a-2) - 1 >= 6ab/5 - 1 >= 6a-1 (b>=a라 가정했으므로)를 얻는데, a의 범위로부터 4a >= 6a-1를 만족할수 없으므로 이는 모순임. 따라서 a <= 4를 얻는데, a=4인 경우에는 a-2 = a/2이므로 4b-1 <= 2b(a-2)-1 <= 4a을 얻고, 따라서 b=a=4가 되어야 함. (이 경우 본문의 식이 제곱수가 아니게 됨).

[익명(77.103)]

이제 a=1,2,3인 경우만 남는데, a=1의 경우는 본문의 식이 b^2 - 4b - 4이고, 이건 (b-2)^2 미만이므로 (b-3)^2 초과가 되면 제곱수가 될수 없으니 (b-3)^2 이하가 되어야 하는데, 그 경우 13 >= b일수밖에 없음. a=2의 경우에도 본문의 식이 4b^2 - 4b - 8이고, 이건 (2b-1)^2 미만이므로 (2b-2)^2 초과가 되면 제곱수가 될수 없으니 (2b-2)^2 이하가 되어야 하는데, 그 경우 12 >= b일수밖에 없음. a=3의 경우에도 본문의 식이 9b^2 - 4b - 12이고, 이건 (3b)^2 미만이므로 (3b-1)^2 초과가 되면 제곱수가 될수 없으니 (3b-1)^2 이하가 되어야 하는데, 이 경우 13 >= b일수밖에 없음.

[익명(77.103)]

따라서 결론을 말하면, 본문의 식이 제곱수가 되려면, a<=b를 가정할때 a=1,2,3이 되고 b<=13을 만족해야하므로 제곱수가 되는 자연수쌍 (a,b)는 유한함.

[익명(118.235)]

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