[대학교이상] 그래서 디리클레 커널이 정확히 뭐임?

[익명(117.111)]

설명해주실 수학 고수분 없으신가요...푸리에 급수 수렴 판단에 관련한 역할을 중심으로 부탁드립니다

[ㅋㅋ(175.211)]

Dini condition 얘긴가? 나도 잘모르겠다

[익명(147.46)]

dirichlet kernel이 dirichlet kernel이지 위키에 잘 나와있는데 뭘 더 말하는거임

[익명(121.130)]

D_N(x):=Σ(-N서 N까지)e^inx 말씀하시는거죠? 2π짜리 주기함수 f의 푸리에급수 표현을 convolution을 통해 lim(N→infinity)(f★D_N)(x)로 볼 수 있어서 쓰는데요. Bessel 부등식을 통해서 f의 N차 삼각근사다항식중에 f와의 거리(=차 제곱을 1주기 적분)가 최소가 되게 해주죠.

[익명(121.130)]

그런데 소위 Good kernel로 불리는 Fejer kernel이나 Poisson kernel이 더 좋은 성질이 있어요 그런데 걔네와의 convolution으로 얻은 삼각다항식은 f와의 거리가 저 Dirichlet kernel보다는 크거나 같게돼요. 끝으로 Fejer theorem 보시면 알겠지만 저 Good kernel과의 convolution이

[익명(121.130)]

차수 높이면 f로 수렴할텐데, 얘네가 f와의 오차가 Dirichlet때보단 크다보니 결국 간접적으로 Dirichlet과의 convolution도 f에 수렴함을 알 수 있게돼요. 물론 convolution 특징상 적분가능함수는 연속함수가 되구요(컴퓨터 그래픽스나 비전에서의 Blur처리에 해당되죠)

[익명(121.130)]

아시겠지만 참고로 차수 높이면 f로 수렴 →특정조건 하에서에요 (모든점에서 f로 수렴한다는게 아니고) 이미 Blur처리 한거기 때문에 완벽한 일치가 아님