세팅은 위랑 같고 첨언하자면 bar(f)가 어떤 splitting field F상에서 서로다른 근들을 가진다는 가정하에 하는 얘기임.(즉, F의 존재성이 이미 가정됨)
이해가 안가는게 아래 두 포인트인데 g가 f랑 마찬가지로 Z[x]에 속한다는거를 g의 계수가 u_i에 대한 symmetric polynomial로 주어지고 symmetric polynomial들은 elementary symmetric polynomial들에 대한 polynomial로 표현가능하다는 걸 안쓰고 그냥 갈루아 이론 tool들만 가지고 이야기 해낼 수 있는지?
두번째는 일단 bar(f)는 f의 각 계수를 mod p로 본 다항식이고 bar(u_i)는 Z/pZ의 extension field상에 있는 bar(f)의 해. bar(g)는 (1번이 참임을 가정하고) f랑 마찬가지로 g의 계수를 mod p로 본 다항식. 이 때 h랑 bar(g)가 같다는 걸 보이는건데 u_i가 Q에 있는 원소가 아니라 Q의 extension field에 있는 원소라서 bar를 함부로 저 product 안으로 못 집어 넣음. 어케 증명할지 너무 막막하다. 두시간째 고민중인데 내가 뭔갈 놓치고 있는것 같기도하고..
최종적으로 bar(f)의 Galois group이 f의 Galois group에 embed 됨(즉, subgroup)임을 보이는게 목적임.
1번에서 Galois Theory로는 g가 Q[x,y1,...,yn]에 속한다는거 밖에 못보이겠음.. Z도 분명 될법한데 궁금해서 물어본거. 물론 2번이 더 중요함.