[일반] K[x]의 모든 다항식이 F에서 어떤 근을 가지면

[익명(175.223)]

또 F가 K위에서 algebraic하다고 할때 F는 K의 algebraic closure인걸 어떻게 보이지

[ultraproduct(ultraproduct)]

F/K이 alg. ext.이므로, F가 algebraically closed임을 보이면 해결. 만약 L/F alg. ext.이라면 L/K도 alg. ext.이므로, 임의의 α in L은 어떤 다항식 in K[x]의 해. 따라서 가정에 의해 α in F, 이는 곧 L=F. 그러므로 F는 algebraically closed.

[ultraproduct(ultraproduct)]

alg. ext.은 algebraic extension의 약자.

[익명(175.223)]

조건이 다항식의 모든 근이 F에 속한다는 게 아니라, 하나만 보장되어있는거야

[ultraproduct(ultraproduct)]

F/K가 separable extension일때는, α in F에 대해 K(α)/K의 normal closure 잡아서 거기에 primitive extension theorem 사용. 그러면 조건 덕에... normal closure가 F의 subfield고, irr(α,K)는 F에서 split. Inseparable 이라면...?

[익명(175.223)]

오 primitive element theorem이 핵심이구나 ㄱㅅㄱㅅ

[익명(77.103)]

https://math.stackexchange.com/questions/721608
에 나와있듯, K가 perfect하면 위의 ultraproduct님이 제시하신 것처럼 Primitive element theorem 사용하시면 되고, perfect하지 않으면, 편의상 K의 characteristic을 p라 할때, 임의의 a in K, 음이 아닌 정수 n에 대해서 다항식 x^{p^n}-a∈K[x]을 고려하면, 가정에 의해서 이 다항식은 어떤 해 z∈F를 가지게 되는데, x^{p^n}-a=(x-z)^{p^n}을 만족하므로 결국 이 다항식은 F 위에서 split됩니다.

[익명(77.103)]

이제 이러한 x^{p^n}-a∈K[x]꼴 다항식들의 해 z들의 모임을 K_{perf}라 하면 K_{perf}는 K를 포함하는 perfect field가 되고, 동시에 F 안에 들어가있게 되는데, 이제 임의의 다항식 f∈K_{perf}[x]에 대해서, K_{perf}의 정의로부터 적당한 n이 존재하여 f^{p^n}을 고려하면 f의 모든 coefficient들이 K 내에 들어가게 되어서 f^{k^p}는 E 위에서 근을 갖게 되는데, f^{k^p}와 f의 근은 같으므로 결국 K 대신에 perfect field K_{perf}을 생각해줄수 있게 됨.