compact이면 [0,1]이 IR에서 compact인것을 이용해서 증명하면 될까요?
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[대학교이상] Q intersection [0,1]은 Q에서 compact 인가요?
이오니(rourkeruiz)
2021-12-03 17:01
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정의 사용해보셈 densitiy때문에 쉬움
Ty
조밀성 이용해서 compact인걸 보이면 되나요? - dc App
[0,1]nQ의 Q에서의 open cover가 있더라도 이걸 R로 적당히 확장해서 얻는 [0,1]nQ의 open cover가 [0,1]의 open cover 임을 보장하지는 못함. 예를 들어 무리수 a하나 잡고 a의 가까운 유리수 p일수록 a p사이의 거리보다 작은 open ball로 p를 덮는 cover를 생각해보셈
이 cover는 절대로 a를 덮지는 못하겠지
cpt 아닌데.
왜 그런건가요 - dc App
least upper bound property가 성립하지 않는다는 게 힌트임. 이건 Q 뿐만이 아니라 order topology가 주어진 top'l space에서 똑같이 생각할 수 있음.
요컨데 저 집합은 Q에서 유계이지만 닫힌집합이 아니기 때문에 Q에서 compact가 아니라는건가여? - dc App
Q에서 Heine-Borel property가 성립하지 않는데 그리 말하면 안되지. 저 집합은 엄연히 유계이면서 Q의 closed subsetd이야.
subsetd을 subset으로 오타 수정.
아 근데 저걸 R의 closed subset은 아니라서 그렇게 보아Heine-Borel thm 쓰면 네 말대로 된다.
저걸>>저건
하이넬 보넬 정리는 IR에서 compact인지를 따지지 않나요? Q를 전체공간으로 한정하고 적용시킬 수 있는거? - dc App
해석학 공부하는 것 같은데, 책 뭐쓰냐? 위상수학 공부하는 거면 위상공간 X의 부분공간 Y이고, C가 Y의 부분집합일 때 C가 X에서 cpt인 것과 Y에서 cpt인 건 동치라는 내용 있을텐데. (당연히 부분공간 Y에는 subspace topology가 주어져 있고.)
Rudin의 PMA에도 이런 내용 나와 있고.
해석학은 아니고 위상수학 강의 과제로 하고 잇는건데 책은 topology without tearless 한국어 번역본 쓰고 잇어요 - dc App
cptness가 공간의 위상에 의존하는 건 맞지만, 이런 이유 땜에 subspace로 왔다갔다하는 (많은) 경우에 ~에서 cpt라는 말을 안 씀. 당연하지만, subspace topology가 아니라 아예 다른 위상을 주면 구별해야 되는 거고.
님 답변대로라면 R의 부분공간 Q상에서 Q의 subset A가 Q의 compact subset이 아닌것을 증명할려면 A가 R의 compact subset이 아님을 보이면 되는건가요? - dc App
유클리드 위상을 기준으로 삼는다면 저 집합은 R상에서 bounded는 맞지만 closed가 아니기 때문에 부분공간인 Q의 compact subset가 아닌거고요 위상 교재에 관련 내용이 찾아봐도 없어서 잘 이해한건지 몰겠음 - dc App
맨위에서 다 나왔네 R상에서 Qn[0,1]의 closure가 어떻게 나옴?
R상에서 [0,1]의 부분집합으로 나오..죠? 같지는 않아서 저 집합은 R에서 닫힌집합은 아닐테고요 - dc App
위상공간 X상의 어떤 subset A에 대해 A가 closed subset임은 cl(A)=A 잖아
그리고 X가 hausdorff이고 A가 X의 compact subset이면 A는 closed subset이어야하는데 그럼..?
그리고 바로위에서 설명해준것도 보면 Q상에서 compact가되는지 안되는지 확인가능
정확히는 위상공간 X와 그 subspace들 A, Y(단, A는 Y의 subset)에 대해 A는 X의 cpt subset임은 A는 Y의 cpt subset임과 동치인거 이용
다른건 다 이해를 했는데 부분공간의 부분집합이 cpt일 필요충분조건은 전체 공간의 cpt subset이다 라는 내용이 위상교재에 비슷한 내용도 없어서.. ㅠㅠ 이부분을 모르겠네요 - dc App
증명하기 쉬울텐데 그것도
컴펙트 정의 이용하면 되나여? - dc App
A가 X의 cpt subset일때 {Vr: r in I}를 Y의 Open subset들로 이루어진 A의 covering으로 두면 각 r in I에 대해 Ur in Tx(X의 위상)이 존재해서 Vr=Ur n Y, A는 Union r in I Vr의 subset이고 각 Vr은 Ur의 subset 이니까 {Ur:r in I}는 X의 A에 대한 open cover가 되어서 A는 유한개의 Ur들로 덮히겠지? 여기서 Y랑 intersection을 시켜주면 {Vr:r in I}의 finite sub cover를 얻게됨 그래서 A는 Y의 compact subset가 됨
반대로 A가 Y의 cpt subset일때 {Ur:r in I}를 X의 A에 대한 open cover라고 하면 {Ur n Y: r in I}는 Y의 open set들로 이루어진 A의 covering이 되니까 가정에 의해 A는 유한개의 Ur n Y로 덮히겠고 여기서 Ur들을 유한개 끄집어내면 A는 유한개의 Ur들로 덮히게 되니까 A는 X의 cpt subset임
이제 알것같음?
네넹 ㄱㅅㄱㅅ - dc App
위 말마따나 R에서 compact가 아니니까 compact가 아님
관련 내용은 해석학 쪽으로 찾아봐야되나여? - dc App
compact 정의만 알면 됨
ㄱㅅㄱㅅ - dc App
점렬 콤팩트 집합이 아니라서
점렬 컴펙트는 아직 안배워서 모르겠는데.. 어떤 내용인가요? - dc App
모든 수열이 수렴하는 부분수열을 갖는 성질
아 그성질 대로라면 Q의 조밀성을 이용해서 컴펙트가 아님을 증명할수 있는거군여 - dc App
(+완비가 아님을 이용)
ㄱㅅㄱㅅ - dc App
c = 1/sqrt(2)로 잡은 다음에 A = (-1, c), B_n = (c+1/n, 1)로 잡아주면 A, B_n 다 모아둔거는 [0,1] cap Q의 open cover가 되지만 finite subcover가 존재하지 않음
오 그런방법도 있었군요 정보 ㄱㅅㄱㅅ - dc App