prove that the set of all the finite subset ω is denumerable.  (ω=자연수 집합, 0 in  ω)

finite set : ∀n in  ω, set A의 원소개수가 n개, A와 n이 equipotent하다고 한다.

infinite set : 1) finite가 아닌 것,  

                2) ∃B ⊂A, A와 B사이 bijection이 가능, B=/=A, 즉 A와 자기자신이 아닌 A의 subset B는 equipotent

                3) ∃X⊂A s.t X와  ω사이 bijection이 가능. 즉, X와  ω가 equipotent


pf) let A={X l X⊂ ω s.t ∀n in ω, X의 원소개수가 n개}, 즉 A는  ω의 모든 finite한 subset들의 set

     ∀n in  ω, {n} equipotent with 1, {n} in A, thus  ω=UA (<= X in A인 모든 X들의 union) and 0 in A by  0 ⊂ ω  

     By choice Axiom, ∃! r : (A-{0}) -> UA s.t r(X) in X, ∀X in (A-{0}), (선택된 집합에서 원소 딱 하나만 뽑는 함수를 만들기가 가능)

          then r is  surjection, so r has right inverse, thus ∃f : ω -> UA s.t r0f = 1ω (<=identity function)

              but f has left function say g, so f is injection.

               so  ω  is equipotent  with ran f ⊂ (A-{0}), thus ran f is denumerable

                so let ran f = {a0, a1, a2, ...... }

define g : A->(A-{0}) as follows : 1) g(0) = a0

                                           2) g(a_n) = a_(n+1), ( ∀n in ω, a_n in ran f) 

                                           3) g(X)=X (X in ( A-( {0}Uran f ) ) 

g가 bijection이고, A는 자기자신이 아닌 subset과 equipotent 하므로 A가 infinite

 따라서 모든 finite subset of denumerable set is infinite.

 

이러한 결론이 나오는데 혹시 증명과정이 이상한가요? denumerable이 유도되어야 하는데...