f:[0,1]->R이 연속


lim integral f(x^n) dx [when n->infinity] = f(0) 임을 증명하라


질문은 이걸 갇힌수렴정리 안쓰고 증명가능하냐는것.


함수열 g_n(x) = f(x^n)이라고 하면 이것의 점별수렴함수가 g는 x=1일때만 f(1)이고 나머지는 f(0)인 함수가 나오는데요.


각 g_n이 연속이되므로, f(1)이랑 f(0)가 다르면 g가 불연속이되니까 g_n이 g로 고르게 수렴하지않아요.


또 같을때는 현재로선 방법도없음..


그런데도 갇힌수렴정리 안쓰고 증명하는방법이 있겠냐는것이 질문..



갇힌수렴정리 써서 풀긴했습니다.


여기서 갇힌수렴정리:


f_n이 각 x랑 n에 대해서 f(x)<M인 M이 존재할때 함수열적분의 극한값하고 f의 적분값하고 같다는거