i가 루트 -1이잖아
그리고 거기에 -1 곱한게 -i고
근데 사실 i가 실수도 아니고 그냥 임의로 만들어 정의한건데 그럼 우리가 흔히 다루는 i를 -i로 대체해도 아무 문제 안생기는거 아님??
그리고 거기에 -1 곱한게 -i고
근데 사실 i가 실수도 아니고 그냥 임의로 만들어 정의한건데 그럼 우리가 흔히 다루는 i를 -i로 대체해도 아무 문제 안생기는거 아님??
[일반] 허수 i랑 -i랑 뭔차이임
익명(223.39)
2021-12-05 16:44
추천 8
댓글 38
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그걸 우리는 R은 i와 -i를 대수적으로 구분하지 못한다고 표현하죠.
고딩이라 대학수학 잘 모르는데 그럼 내가 말한게 맞음?
음. 켤레복소수 개념을 알고 있으려나?
올해 수능 쳤읍니다..
그러면 켤레복소수라는 것을 C(복소수 전체의 집합)에서 C로 가는 함수로 생각할 수 있지?
예
곰곰 생각해보면, 두 복소수를 더한 것의 켤레복소수를 구할 때, 각각의 켤레를 먼저 취하고 더해도 되었던 기억도 있고, 두 복소수를 곱한 것의 켤레복소수를 구할 때도 비슷한 기억이 있지?
그쵸
또한 어떤 실수든지 그것의 켤레복소수는 자기 자신이었고.
돌이켜보면, 실수에서 i를 생각해낸 계기가 바로 다항식 t^2+1의 근(의미는 분명하지?)이었잖아?
네 그쵸
그렇다면 우린 2i와 i를 (실수 입장에서) 어떻게 구분하지?
2i는 -4의 제곱근 i는 -1의 제곱근이니 이걸로 비교하면 될듯요
비교->구분
아 그래서 실수계수 다항방정식의 근으로 복소수를 정의하는 경우 켤레복소수를 구분할 방법이 없다는건가요
근데 정말 구분할 방법이 없단걸 어케 증명하죠
좋아! 근데 다항식의 근이라는 관점에서 표현을 좀 다듬자면, 하나는 t^2+4의 근, 다른 하나는 t^2+1이라고 하면 좋겠지? 둘다 R의 원소를 계수로 하는 다항식이니까.
여기서 이제 켤레복소수의 기묘한 성질이 빛을 발하는 거야.
아까 사칙연산과 켤레복소수 함수의 순서는 자유롭다고 밝혔고, 켤레복소수 함수가 1-1 대응인건 쉽게 알 수 있지? 이 말은 곧 켤레복소수 함수가 "연산을 갖춘 집합의 성질을 보존한다"라는 말이야.
근데 켤레복소수 함수는 실수를 pointwise 고정한다며? 따라서 실수 입장에서는 i와 -i, 나아가 a+bi, a-bi를 구분할 수 없는 거지. (a,b는 실수)
pointwise 고정한단게 뭔뜻인가요
어떤 실수든지 그것의 켤레복소수가 자기자신이라는 뜻. 함수가 '한 점'을 그대로 '고정'하지?
왜냐하면 네가 말한 켤레복소수 함수의 바로 그 특성들이, (input과 output이 갖고 있는) [우리가 주목하고 있는 사칙연산으로 주어지는 특성]을 보존해준다는 것을 말하거든. 그런데 R(실수 전체의 집합)은 pointwise fixed under conjugation(켤레복소수 함수) 라고 한 점을 보면, R의 원소들과 i의 관계로 나타나는 특성이 R의 원소들과 -i의 관계로 나타나는 특성과 같다는 걸 얻고, 이는 즉 처음에 말학고자 했던, R은 i와 -i를 (대수적으로) 구분하지 못한다는 거지.
음... 마지막의 결론이 도출되는 논리가 잘 이해가 안가서 그런데 뭐라고 검색하면 관련 내용이 나오나요?
음. "isomorphism"이라고 검색하면 나오긴 할텐데, 좀 어려울수도?
아ㄷㄷ 그렇군요 이해가 확가네요ㅋㅋㅋ 친절한 답변 감사드립니다
아 이해됐어요ㅋㅋㅋ 그전 댓은 집피가 드러나서 지우고 다시쓴거
수학과에 온다면, 곧 "아~"하고, 그 후 늦어도 1년 안에 "아!"하게 될거야ㅋㅋ
-i is the additive inverse of i.
고딩이 벌써 요런 생각을? ㅋㅋ
설명하는 재미 진짜 실감난다니까
오 ㅅㅂ 대수 학기 막바지에 나오는 얘기를 설명하는데 그걸 다 알아듣네 재능충이다
기약다항식이 또..
쟤 conjugate isomorphism 얘기하는거임?
complex conjugate가 Gal(C/R)의 원소이고, isomorphism에 의해 대응되면 걔네들이 만족하는 complete type이 같다는 이야기를 쉽게 풀어서 했지.
ㅋㅋㅋ 어찌보면 5차방정식의 비가해성을 증명하기 위한 출발점이 그 아이디언데
오...
고딩인데 뭔소린지 모르겠다 ㅋㅋ