[Serre Swan theorem-algebraic K theory와 topological K theory]
(실수로 지워서 다시 올려요..)

첫 학사논문 지도교수님께 받았던 토픽은 특정한 operator algebra의 K theory를 구하는 것이였다. 결국엔 토픽을 바꿔서 K theory에 대한 충분한 이해는 하지 못했고, 시간이 많이 지나 많은 내용을 잊어버려서 내용의 부실함은 양해를 바란다.(틀리거나 보충할 내용은 댓글로 보충해주시면 감사하겠습니다.)

0. K 이론

k이론은 하나의 코호몰로지 이론으로 다양한 대상들을 분류할 사용된다. 내가 아는 한도내에서는 벡터다발,환 그리고 C* 대수를 분류하는데 많이 이용된다. 방법은 대상에 K0 K1.. 의 sequence of group을 대응시키는 것이다. 필자는 K0 group을 공부하다가 그만뒀기때문에 K0 group에 대해서만 이야기를 해보겠다.


1. Topological K theory(줄여서 TK 이론이라고 하자)

tk이론은 주로 위상공간의 벡터다발들을 다루는 이론이다.  M이 compact Hausdorff space라고 하자. 이때 M위에서의 유한차원 벡터다발들의 isomorphism class들을 모으면 direct sum을 통해서 abelian monoid가 된다. 이때 이 abelian monoid에 Grothendieck completion을 취해서 얻은 abelian group을 K0 group이라고 한다.


2. algebraic K theory(줄여서 ak이론이라고 하자.)

algebraic K theory는 compact manifold 대신 환들에 대한 K theory이다. 환에 대한 K0 group은 다음과 같은 방법으로 구성할 수 있다. ring R이 주어졌을때, 모든 finitely generated projective module들의 집합에 isomorphism을 통한 equivalence relation을 준다. 이때 이 equvialence class들은 다시 direct sum을 통해 abelian monoid가 된다. 이렇게 만들어진 monoid에 grothendieck competion을 취하면 만들어지는 abelian group을 R의 K0 group이라고 부른다.


3. K0의 의미.

algebraic K theory의 측면에서 보면 K0 group은 이 ring들 위의 finitely generated projective module들이 어떤 dimension을 가질 수 있는지를 알려준다. 예를들어 어떤 field F에 대해 K0을 생각해보면, finitely generated projective module들은 모두 finite dimensional vector space들이다. 두 finite vector space V와 U은 isomorphic 하면 iff same dimensional이기때문에, 이들의 equvialence class들이 형성하는 monoid는 자연수 N이 될것이다. 고로 N의 grothendieck completion은 Z이다. 


4. Serre Swan theorem

이제 두 K theory의 K0 group을 비교해보자.

tk이론에선 manifold의 'finite dimensional' vector space들에 대해 다룬다. 그리고 ak이론에선 ring들의 'finitely generated projective' module들에 대해서 다룬다. 3의 예시를 보면 저 둘이 어딘가 기묘하게 닮아있는 구석이 보인다. Serre Swan theorem은 이 둘은 사실 정확히 같다는 내용을 전해준다. 이 정리들은 많은 버전 중 하나의 버전은 다음과 같은 내용을 말한다.

 Given a Hausdorff compact space X, the category of finitely generated projective modules over the continuous-function algebra C(X) is equivalent to the category of finite-rank vector bundles on X. 카테고리 이론을 제외하고 말하면, X위의 finite rank vector bundle들의 isomorphism class들이 이루는 monoid는 X의 continuous function algebra의 finitely genreated projective module들의 isomorphism class들이 이루는 monoid와 같다. X의 K0 group과 C(X)의 K0 group이 같다는 말이다. 아주 신기하지 않을 수 없다!

5. 결론

Serre Swan theorem을 이용한 algebraic k theory와 topological k theory의 관계에 대해 알아봤다. 어쩌면 이들은 다른 대상들과의 k theory들과도 연관이 있을지 모르겠다. 차원의 일반화인 K0 group을 생각해본다면, IBN property를 갖지않는 ring들의 k theory를 생각해보는것도 흥미로운 주제인 것 같다.