6.3.16에서 모든 이산거리공간과 유도위상을 갖는 R의 모든구간은 완비거리화 가능임을 입증하는 것은 쉽다..라고 했는데 (교재에선 특별한 언급이 없으면 R은 유클리드 위상을 갖는 유클리드 공간이라고 언급, 또한 Q Z N P (a,b) [a,b], [a,b) (- 무한대, a), (-무한대, a], (a, 무한대), [a, 무한대)도 특별한 언급이 없으면 유클리드 위상을 갖는 R의 부분공간으로 언급)
이산거리는 이산위상을 유도하니깐 여기서 말하는 유도위상은 이산위상에 의해 유도되는 위상으로 봐야될까요? 아니면 유클리드 위상에 의해 유도된 위상으로 봐야될까요?
만약 아니라면, (0,1)은 완비거리공간이 아니니깐 위 정의에 따르면 모든 열린구간은 완비거리화가능공간이 아닌데.. (모든열린구간은 (0,1)과 위상동형이고 완비거리화 가능 위상적 성질이라고 했으니..) 책에서 잘못 언급을 한건지 모르겠네요
전체 위상을 이산위상으로 보기엔 (0,1)는 이산공간 R의 부분집합이니깐 열린닫힌집합이어야 하는데 뒷 내용을 보니깐 그건 또 아닌것같고..
교수님한테 직접적으로 물어봐야 되려나.. ㅁㄴㅇㄹ
교재는 topology without tear 한국어 번역본입니다
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1. 모든 discrete space와 2. 모든 R의 subspace with usual topology on R를 말하는 것.
그러면 저 주목 파트에서 언급하는 부분들은 문제가 없나요? (0,1)만 보더라도 R의 완비거리부분공간이 아닌데.. 완비거리화가능이라고 할 수 있나요? - dc App
본문에서 (0,1)이 complete metric space가 아니라고 했는데, f(x)를 tan π(x-1/2)이라고 두고 d(x,y)=|f(x)-f(y)|라는 (0,1) 위에 "새로운 metric"을 주면, 1. R에서 induce되는 topology와 새로운 metric d에 의해 induce되는 metric topology가 같고, 2. 이 metric 하에서 (0,1)은 complete임.
책 바로 위에 "완비가능성은 위상적인 불변량이 아니다"라는 문장이 있는데, 이런 식으로 같은 topology를 유도하는 서로 다른 metric에 의해 completeness는 보존되지 않기 때문임.
사족으로 아래의 함수 f(x)는 당연히 0과 1로 (원래는) 수렴하는 수열이 수렴하지 않도록 0과 1로 갈 때 발산하는 함수로 일부러 잡은 것.
요컨대 하나의 위상(유클리드 위상)을 유도하는 동치인 거리는 다수 존재하는데, 유클리드 거리를 갖는 거리공간에서 (0,1)은 닫힌집합이 아니므로 완비거리부분공간이 될 수 없지만, '유클리드 위상'을 유도하는 (유클리드거리와 다른)거리를 정의하면 (0,1)은 완비거리부분공간이 될 수 있으므로 그 거리공간에서 (0,1)은 완비거리공간이다.. - dc App
라는 건가여? - dc App
ㅇㅇ
완비거리공간(X,d)의 부분공간(Y,d')가 완비거리공간이면 Y는 (X,d)의 닫힌 부분공간 / Y가 (X,d)의 닫힌 부분공간이면, (Y,d')은 완비거리공간이다.. (d' : d에 의하여 Y위에 유도된 거리)라는 명제가 바로 위에 기재가 되어있는데, 이 명제에 따르면 완비거리공간의 부분공간이 완비거리공간일 필요충분조건은 닫힌부분공간이다 - dc App
"완비거리공간의 부분공간이 완비공간"이라는 명제와 "완비거리공간의 부분공간이 완비거리화공간"이라는 명제는 다름. 완비거리화가능의 정의를 다시 보자.
라는 것인데.. 본문에서 (0,1)은 닫힌집합이 아니다라고 한 부분은 어쨋든 각각의 거리는 똑같은 위상을 유도하므로 (0,1)은 R의 닫힌 부분 집합은 아니지만 완비거리공간이 될 수 있으므로 완비거리화가능 부분공간이다가 될 수 있는건가요? 닫힌 집합이 아니더라도 완비거리공간이 될 수 잇나요? - dc App
아 (0,1)은 결국 완비거리화가능 부분공간이고, 실제로 거리는 다르지만 같은위상 유클리드 위상을 유도하므로 본문에서 언급하는 완비거리화가능으로 바꾸면 참이 되지 않을 수 있다는 말은 결국 (0,1)은 닫힌집합이 아니므로 반례가 될 수 있기에 언급을 한거군요 - dc App
metric space의 complete space는 이야기한대로 closed임. 그러면 우리가 이야기했던게 모순인걸까? 위의 예시에서 (0,1)이 complete하게 새롭게 준 metric이 있었는데, 이 metric이 R의 metric에서 induce된 것이 아님. f가 0과 1 밖에서는 잘 정의가 안 되거든. 따라서 새로운 metric을 준 경우에는 (0,1)을 R의 subspace로 보는 것이 불가능하지.
사족2. x,y 사이의 R-거리와 F(x),F(y) 사이의 (0,1)-거리가 같게 하는 (R,usual metric)에서 ((0,1),새로운 metric)으로 가는 bijection F가 있음. F가 metric을 보존하기 때문에 당연히 topology까지 보존하고, 원래 R이 complete니 (0,1)도 당연히 complete겠지.
그렇다면 결국 F는 등거리함수이고 등거리함수는 대응위상공간사이의 위상동형함수인데, complete는 본문에서도 언급한것처럼 위상적성질이 아니니깐 제아무리 R이 complete하다고 해도 (0,1)이 complete하다고 볼 수는 없지 않나요? - dc App
F가 topology를 보존하는 것 뿐만 아니라 metric도 보존하니까 그럼. metric을 보존하니 모든 metric이 정의하는 성질을 보존.
음.. 어렵네요 ㅠㅠ 궁금한점 잇으면 나중에 다시와서 물어보겠읍니다 - dc App