임의의 볼록n각형 A의 꼭짓점n개를 각각
A_1,A_2,..A_n이라 하자.
좌표평면위에 A를 놓았을때
임의의 실수 x,y에 대해
점 (x,y)와 볼록다각형 위의 한 점 사이의 거리의 최댓값은 반드시 존재하고 최댓값을 만드는 볼록다각형 위의 점은 반드시 A_1,A_2,..,A_n중 하나이다.
증명을 대체어떻게해야할까요??.. 삼각형 사각형등을 놓고
해본결과 이럴거라는 가설을 수립했는데 일반적으로 확장햇을때 증명하기가 감이안잡혀요. 맞을거같다는 확신은 드는데.. 최솟값의경우는 특별한게없지만
최댓값일땐 항상 특별하게 되는거같아서요
- dc official App
1. 내부점은 안된다는 걸 증명 2. 꼭짓점이 아닌 변 위에 있을 때 볼록성을 이용해서 거리가 더 먼 점을 찾을 수 있음을 증명 방향성이 이렇게 될 거 같은데
A,B, 그리고 A와 B의 중점 C가 있을때 임의의 점 X에 대해 XC는 XA나 XB보다 작음을 보일 수 있음 따라서 서로 다른 두 점의 중점이 될 수 있는 점은 최대거리인 점이 될 수 없음
임의의 양수 a에 대해 (0,0) , (a,0) , (2a,0) 놓고 임의의 실수 x y에대개 거리 부등식세우면 항상참이다로 가는건가요? - dc App
윗댓이 잘 설명해준거 같은데 굳이 볼록다각형이 아니라도 유한개의 점들과 이 점들중 어떤 두개의 점을 잇는 '선분'들로 이루어진 어떤 도형도 임의의 점과의 그 최대거리는 절대로 선분 내부의 점과의 거리가 될 수 없음 말했듯이, 선분 양끝점중 적어도 한점은 내부의 점보다 길테니까
이걸 증명하려면 양끝점을 XY로 둔 선분 XY의 내부점을 tX + (1-t)Y , t in (0,1) 로 두고 임의의 점을 원점으로 둬도 무방하니까 |tX + (1-t)Y| <= t|X| + (1-t)|Y| <= max{|X|,|Y|} 에서 증명됨