복소해석학 전공 교재 문제인데요.. 그린 정리를 이용해서 구하라는데
곡선 C가 원이라서 이걸 어떻게 변형시켜야할지 몰겠음..
[일반] 2번 문제 어떻게 접근하면 되나요
익명(211.184)
2021-12-08 23:19
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그린정리써서 이중적분으로 바꾸고 극좌표 쓰면 되는거 아님?
영역을 어떻게 둬야됨?
원으로 둘러싸인 원판 하면 되겠지 뭐
무슨말 하는건지 몰겠음..
그린정리가 뭔지는 앎?
선적분을 이중적분으로 바꿔서 계산할 수 있는거 아님?
닫힌영역 R에서 이중적분 = 이 영역을 뒤덮는 경계 C에서 선적분 이거 아닌가
ㅇㅇ 그럼 지금 상황에서 선적분을 이중적분으로 바꿀수 있으니 적분만 하면 되네 문제 조건만 아니면 걍 깡으로 parameteize해서 되기도 하겠다만
영역 R이라는건 결국 범위가 있는건데 이 영역 R을 구체적으로 어떻게 둬야될지 모르겠음 그냥 0 < cost 이렇게 두면 되나
아 그냥 x나 y에 관한 식으로 바꾸며ㅓㄴ 되겠네
ㅇㅇ 뭐 직교 좌표 쓰려면 그렇게 해도 되고 개인적으론 극좌표 쓰는걸 추천함
극좌표로 변형하려면 결국 매개변수 t에 대한 식으로 바꾸서 적분해주면 되죠?
매개변수 t라기보단 이중적분이니까 변수가 x y 두개고 이걸 r이랑 theta로 표현해서 해야지
아 drd세타로.. 그러면 r은 범위가 0~2 세타는 0~2파이 이려나..
ㅇㅇ
편도함수에 x,y를 극좌표로 치환한 값을 넣고 대입해주면 되나..
야코비안 말하는거면 넣어야지 ㅇㅇ dxdy=rdrd\theta임
f=3+yx², g=2-xy²으로 두고.. 이걸 편미분하고 영역은 r - (0,2) / theta - (0,2pi) 으로 두고 dxdy=rdrdtheta이니깐 바꿔주고 편미분한 값에 x=2cos theta, y=2sin theta 대입해주고 계산하면 끝?
ㅇㅇ
ㄳㄳ
근데 여기서 dxdy=rdrdtheta로 바꾸는데 r은 상수가 아니라 변수죠?
ㅇㅇ 0에서 2까지 적분하는 그 변수임
무턱대고 dxdy=rdrdtheta로 둘때 dr 앞에 r을 반지름 2로 둬서 풀뻔했네..
그린정리로 변환해서 풀면 -4r의 이중적분이 나오는데 맞는지 몰겠네여 이걸 계산하니깐 -16pi가 나오는데 답지는 또 -8pi라고 하네..
야코비안까지 포함하면 -r^3 적분하는거 아님?
x,y에 의한 야코비안 식도 r,세타에 관한걸로 바꿔줘야되나요? 왜 r^3인것..
뒤에거 x로 미분하고 앞에거 y로 미분해서 빼면 -y^2-x^2=r^2이고 야코비안에 r이 있잖슴
그냥 단순히 x=2cos, y=2sin에 x,y에의한 편도함수에 값 대입해서 dxdy=rdrdtheta로 두고 하니깐 -4r나온건데 이게 아닌가보네
아니 지금 영역에서 적분하는건데 왜 계속 parameter를 하나만 쓰냐
아 그럼 x,y를 2cos 2sin으로 둬야될게 아니라 rcos rsin으로 둬서 풀어야되는거?
당연하지;
단순히 극좌표로 치환하면 되는줄알아서 2cos 2sin 으로 뒀는데 생각해보니깐 이중적분에 r이 매개변수인데.. 그렇게 두면 안됐네
ㅈㅅ 제가 좀 졸려서
졸리면 킹쩔수 없지 아 ㅋㅋ
여튼 답변 ㄳㄳ
x가 -2~2, y가 -루트(4-x²)~루트(4-x)
ㄳㄳ
²
식 꼴이근데 계산이 어머같을거같음 윗분말대로 극좌표가 나아보임
딱 식 적자마자 계산 더러워 보여서 선회할려구요