f : X->Y가 단사 <=> g : Y->X가 존재하여 g^(-1)합성f=항등함수 이 명제에서 g를 f^(-1)로 봐도 되는건가요? 의문인게 아래 사진 정리에서 f가 단사이기에 아래에 밑줄친 부분처럼 양쪽에 f^(-m)를 해주었다는데 만약 f가 단사이고 전사는 아니라면
공역인 Y가 모두 대응되지 않는데 그러면
f^(-1)는 Y의 모든 원소가 X로 가지 않아서 함수로 정의가 안 되지 않나요?
저 정리에서 어떻게 f inverse를 생각한건지 궁금하네요
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f^(-1)를 취한 게 아니라 f(x)=f(y)이면 x=y 쓴건데.
그러면 각각 m이랑 n에서 n-m이랑 m-m으로 빼진건 어떻게 설명되는거죠? - dc App
f^m(x)를 f(f(...(f(x))...))로 생각해 봐
단사니까 m 만큼 뺄 수 있어요
저도 그렇게 알고있었는데 생각해보면 f inverse함수가 애초에 정의가 안되지않나요? Y모든원소가 X에 대응되야하는데 애초에 X->Y가 단사였으면 Y의 일부만 X랑 대응되는거니까 inverse인 Y->X는 아예 정의가 안되는데 어떻게 그 함수를 사용해서 빼는건가요? - dc App
일단은 inverse를 생각하는건 잘못된 접근, (axiom of choice로 적절하게 만들수도 있는데 굳이,,?) f가 injective니까 f^m도 injective 그래서 f^m(x) = f^n(x') = f^m(f^{n-m}(x')) 이제 f^m이 injective니까 x = f^{n-m}(x')
그러면 교수님이 강의에서 f가 단사기 때문에 양쪽에 적당히 inverse를 취해준다라고 하셨는데 오류인건가요? - dc App
오류 까지는 아니고, 좀 불친절한 설명인거죠, 위에 내가 "axiom of choice"라고 한게 오류네요, f가 단사이면, 항상 f의 left inverse가 존재해요 (유일하지는 않음) 즉, gf = id 가 되게하는 g가 존재해요, (fg = id 는 안됨)
아 그리고, axiom of choice를 안써도 left inverse를 구성할 수 있어서 오류라고 한거에요. 저런 g가 있는건 책 앞쪽에 나올거 같긴 한데, 구성도 매우 쉬워요, f(x)는 x로 보내면 되고, (f가 단사이기 때문에 잘 정의됨) 치역에 없는 공역 원소들은 아무데나 보내도 상관없어요. 그러면 gf = id가 나와요
근데 그 g를 f inverse로 놓으면 gf를 f에 역상을 한건지 역함수를 한건지 헷갈리네요 양쪽에 inverse를 취했다는 말이 역상을 말하는거 아닐까 하는 생각이 드는데, g는 Y->X인 함수고 g가 f inverse면 형태상 역상이 아니라 역함수 표현이라 또 안되지 않나 하는 생각도 들구요 - dc App - dc App
그 g가 f inverse가 아니에요. f의 left inverse라고 해야되요. "f의 inverse"라고 말하려면 fg 랑 gf 둘다 identity가 나와야하기 때문이에요. 역상은 또 갑자기 왜 나온건지 모르겠네요. "f inverse"라는 컨셉 자체를 버리고, gf = id 가 되는 g가 있다고 생각하면 되요.
역상도 f inverse f(x) =x로 만들어줄수 있지않나요? - dc App
일단 역상은 인풋 자체가 부분집합이어야 되요, 역상으로 이야기 하려면 f^{-1} 에다가 f(x)를 넣는게 아니고 {f(x)}라는 한점집합을 넣어야 되고, f가 injective이므로 {f(x)}를 넣으면 한점집합인 {x}가 나와요. 하지만 굳이 저 증명에서는 그런걸 쓸 필요 없어요.
그러면 f^(-1)(y)=x이거는 무슨 표현인가요? 역상으로 알고있었는데.. - dc App
f^n(x') = f^m(f^(n-m)(x')) = f^m(x) 라는 얘기고 f^m 도 단사니까 f^m 안에 있는것끼리 같아서 f^(n-m)(x')=x
f inverse를 합성하는게 아니고 합성한 개수를 세서 비교하는 느낌?
그러면 제 생각대로 inverse를 하는건 잘못된건거요? - dc App
ㅔ 님 말대로 전사가 보장 안되면 f inverse를 생각할수 없잖음
근데 궁금한게 A라는 집합, f함수에서 f가 단사라면 A=f inverse(f(A)) 던데 이것도 같은 논리로 f inverse 함수를 생각할수 없음에도 어떻게 사용한건가요,? - dc App
f(A)는 집합이고 f^(-1)(f(A))에서 f^(-1)은 역함수가 아니고 역상(inverse image였나?)임. 역함수랑 역상이랑 다른 개념
근데 저 사진 정리도 그러면 역함수가 아니라 역상을 취한거 아닌가요? - dc App
특정 원소에 대해서도 역상을 하는걸로아는데 - dc App
그냥 f(x)=f(y)이면 x=y 이짓을 m번 한거임
저걸 상,역상으로 보려면 괄호안에 집합이들어가있어야하지않을까요
역상이 원소를 가지도고 할 수 있지않나요? f(x)=y <=> f inverse y =x 이것도 역상표현으로 아는데 - dc App
저 책엔 그런게 없었던걸로 기억해요 뭐 f가 단사니까 잘 정의만하면 그렇게도 되기야 하겠죠?
f가 bijection이면 그냥 같다고 해버려도 되는데 일반적으론 f(x)=y iff x in f^-1(y) 이렇게 표현하지?
아 확실히 저기선 f가 injective이까 상관은 없겠다
그냥 f^-1 이거랑 f^-m 이 표현은 약간 다르다고 보는게 나음 n>m이니까 f^(n-m)이건 양의 정수 횟수만큼 합성 시켜줬단거니까 역상이고 뭐고 그냥 f(f...f(x)...))에서 나오는 f의 갯수를 세어놓고 위에 f^2,...,f^n이렇게 표현해준거니까